Symétrisation de Steiner

Dans un espace affine, soit H un hyperplan et δ une direction non parallèle à H. Soit K une partie de l'espace affine. On définit alors le symétrisé de Steiner ${\displaystyle st_{H,\delta }(K)}$ par :

pour toute droite D parallèle à δ :

• si K ∩ D = ∅ alors ${\displaystyle st_{H,\delta }(K)\cap D=\varnothing ,}$
• si K ∩ D ≠ ∅ alors ${\displaystyle st_{H,\delta }(K)\cap D}$ est le segment porté par D, de milieu situé en H et de longueur, sur D, égale à celle de K ∩ D.

• On peut montrer que la symétrisation de Steiner n'est pas continue pour la distance de Hausdorff.
• Pour toute partie K, ${\displaystyle st_{H,\delta }(st_{H,\delta }(K))=st_{H,\delta }(K)}$
• La symétrisation de Steiner conserve le volume, et elle n'augmente pas le diamètre.
• Elle conserve également la convexité.

• Inégalité isodiamétrique de Bieberbach:

Quel que soit K compact dans un espace euclidien de dimension n, on a

${\displaystyle V(K)\leq 2^{-n}\beta (n)(diam(K))^{n}~,}$

où ${\displaystyle \beta (n)}$ désigne le volume de la boule unité dans l'espace considéré.

• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions], Tome 1
• (de) Jakob Steiner, « Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze », J. reine angew Math., vol. 18,‎ 1838, p. 281-296 (lire en ligne)