Accueil🇫🇷Chercher

Sur quelques points d'algèbre homologique

Sur quelques points d'algèbre homologique est un article d'Alexandre Grothendieck[1], souvent désigné dans le monde anglo-saxon sous le nom the Tôhoku paper, publié en 1957 dans le Tôhoku Mathematical Journal . Il a révolutionné le sujet de l'algèbre homologique, un aspect purement algébrique de la topologie algébrique[2]. Cela a supprimé la nécessité de distinguer les cas de modules sur un anneau et de faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique[3].

Sur quelques points d'algèbre homologique
Format
Article scientifique (en)
Langue
Auteur
Sujet
Algèbre homologique (en)
Date de parution
Publié dans

Contexte autour de l'article

Le contenu de l'article date de l'année 1955 lorsque Grothendieck était à l'université du Kansas. Ses recherches lui ont permis d'axiomatiser l'algèbre homologique en introduisant le concept de catégorie abélienne[4] - [5].

Un manuel d'algèbre homologique, le Cartan-Eilenberg d'après les auteurs Henri Cartan et Samuel Eilenberg, parut en 1956. L'œuvre de Grothendieck en était largement indépendante. Son concept de catégorie abélienne fut partiellement anticipé par d'autres[6].

David Buchsbaum dans sa thèse de doctorat supervisée par Eilenberg avait introduit une notion de « catégorie exacte » qui était proche de celle de catégorie abélienne (n'ayant besoin que de sommes directes pour être identiques) ; et avait formulé l'idée de morphismes « suffisamment d'injectifs »[7].

L'article de Tôhoku contient un argument pour prouver qu'une catégorie de Grothendieck (un type particulier de catégorie abélienne, le nom venant plus tard) a suffisamment de morphismes injectifs ; l'auteur ayant indiqué que la preuve était de type standard[8]. En montrant par ce moyen que les catégories de faisceaux de groupes abéliens admettaient des résolutions injectives, Grothendieck est allé au-delà de la théorie disponible chez Cartan-Eilenberg, pour prouver l'existence d'une théorie de cohomologie en toute généralité[9].

Développements ultérieurs

Après le théorème de Gabriel-Popescu de 1964, on savait que toute catégorie de Grothendieck est une catégorie quotient d'une catégorie de module[10].

Cet article permit également introduire la suite spectrale de Grothendieck associée à la composition des foncteurs dérivés[11].

En reconsidérant plus avant les fondements de l'algèbre homologique, Grothendieck a introduit et développé avec Jean-Louis Verdier le concept de catégorie dérivée[12]. La motivation initiale, telle qu'annoncée par Grothendieck au Congrès international des mathématiciens de 1958, était de formuler des résultats sur la dualité cohérente, désormais sous le nom de « dualité de Grothendieck »[13].

Références

  1. Sooyoung Chang, Academic Genealogy of Mathematicians, World Scientific, (ISBN 978-981-4282-29-1, lire en ligne), p. 115
  2. Jean-Paul Pier, Development of Mathematics 1950-2000, Springer Science & Business Media, (ISBN 978-3-7643-6280-5, lire en ligne), p. 715
  3. Pierre Cartier, Luc Illusie, Nicholas M. Katz, GĂ©rard Laumon et Yuri I. Manin, The Grothendieck Festschrift, Volume I: A Collection of Articles Written in Honor of the 60th Birthday of Alexander Grothendieck, Springer Science & Business Media, (ISBN 978-0-8176-4566-3, lire en ligne), vii
  4. Piotr Pragacz, Topics in Cohomological Studies of Algebraic Varieties: Impanga Lecture Notes, Springer Science & Business Media, (ISBN 978-3-7643-7214-9, lire en ligne), xiv–xv
  5. « Tohoku in nLab » (consulté le )
  6. I.M. James, History of Topology, Elsevier, (ISBN 978-0-08-053407-7, lire en ligne), p. 815
  7. Amnon Neeman, Triangulated Categories, Princeton University Press, (ISBN 0-691-08686-9, lire en ligne), p. 19
  8. Giandomenico Sica, What is Category Theory?, Polimetrica s.a.s., , 236–7 p. (ISBN 978-88-7699-031-1, lire en ligne)
  9. « Grothendieck category - Encyclopedia of Mathematics » (consulté le )
  10. Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-55987-4, lire en ligne), p. 150
  11. Ravi Vakil, Snowbird Lectures in Algebraic Geometry: Proceedings of an AMS-IMS-SIAM Joint Summer Research Conference on Algebraic Geometry : Presentations by Young Researchers, July 4-8, 2004, American Mathematical Soc., , 44–5 p. (ISBN 978-0-8218-5720-5, lire en ligne)
  12. Amnon Neeman, "Derived Categories and Grothendieck Duality", at p. 7
Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.