Suite du traiteur paresseux

Le nombre maximal ${\displaystyle u_{n}}$ de morceaux qui peuvent être obtenus avec un nombre ${\displaystyle n\geqslant 0}$ de coupes est donné par la formule :

${\displaystyle u_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}+1={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.}$

Animation montrant le nombre de régions découpées pour n allant jusqu'à 6

Chaque terme est donc égal à un nombre triangulaire plus 1.

Cette suite (suite A000124 de l'OEIS), en commençant à ${\displaystyle n=0}$, donne les nombres suivants

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

À l'aide des coefficients binomiaux, la formule s'écrit aussi

${\displaystyle u_{n}=1+{\tbinom {n+1}{2}}={\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}.}$

${\displaystyle u_{n}}$ est donc égal à ${\displaystyle B_{n,2}}$, coefficient de la colonne d'indice 2 du triangle de Bernoulli.

Lorsqu'il y a ${\displaystyle n-1}$ découpes, une nouvelle droite rencontre chacune des ${\displaystyle n-1}$ droites en un point au maximum, coupe donc ${\displaystyle n}$ anciennes régions en deux au maximum ; elle crée donc au maximum ${\displaystyle n}$ nouvelle régions. On en déduit ${\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+n=\cdots =u_{0}+1+\cdots +n=1+{\frac {n(n+1)}{2}}}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lazy caterer's sequence » (voir la liste des auteurs).
• (en) T. L. Moore, « Using Euler's formula to solve plane separation problems », The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, vol. 22, n^o 2,‎ 1991, p. 125–130 (DOI 10.2307/2686448, JSTOR 2686448).
• (en) J. Steiner, « Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes ("A Few Statements about the Division of the Plane and of Space") », J. Reine Angew. Math., vol. 1,‎ 1826, p. 349–364.
• (en) J. E. Wetzel, « On the division of the plane by lines », American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, vol. 85, n^o 8,‎ 1978, p. 647–656 (DOI 10.2307/2320333, JSTOR 2320333, lire en ligne).

• Nombre polygonal centré

(en) Eric W. Weisstein, « Circle Division by Lines », sur MathWorld