Triangle de Bernoulli

Pour tout entier naturel n et tout entier k entre 0 et n, le terme de la ligne d'indice n et de la colonne d'indice k est donné par :

${\displaystyle B_{n,k}=\sum _{p=0}^{k}{n \choose p},}$

i.e., la somme des k + 1 premiers coefficients binomiaux de la ligne d'indice n du triangle de Pascal[1].

Les premières lignes en sont :

${\displaystyle _{n}\!\!\diagdown \!\!^{k}}$	0	1	2	3	4	5
0	1	1	1	1	1	1
1	1	2	2	2	2	2
2	1	3	4	4	4	4
3	1	4	7	8	8	8
4	1	5	11	15	16	16
5	1	6	16	26	31	32

Le triangle a été complété par les termes pour ${\displaystyle k>n}$, où dans ce cas ${\displaystyle B_{n,k}=\sum _{p=0}^{k}{n \choose p}=\sum _{p=0}^{n}{n \choose p}=2^{n}}$.

On obtient donc le triangle de Bernoulli en ajoutant à chaque colonne du triangle de Pascal les colonnes précédentes.

Comme dans le triangle de Pascal, chaque terme du triangle de Bernoulli est la somme de deux termes de la ligne précédente, c'est-à-dire que :

${\displaystyle B_{n,k}=B_{n-1,k}+B_{n-1,k-1}.}$

L'initialisation pour le triangle est ${\displaystyle B_{n,0}=1}$ (identique à celle du triangle de Pascal), et ${\displaystyle B_{n,n}=2^{n}}$.

Pour le triangle complété, il suffit de prendre ${\displaystyle B_{0,k}=1}$.

Remarque : avec la même initialisation : ${\displaystyle T_{n,0}=T_{0,k}=1}$, mais la relation de récurrence ${\displaystyle T_{n,k}=T_{n-1,k}+T_{n,k-1}}$, on obtient ${\displaystyle T_{n,k}={\binom {n+k}{k}}}$, et avec la relation de récurrence : ${\displaystyle T_{n,k}=T_{n-1,k}+T_{n-1,k-1}+T_{n,k-1}}$, on obtient ${\displaystyle T_{n,k}=D(n,k)}$, nombre de Delannoy.

Il existe une formule close exprimant ${\displaystyle B_{n,k}}$, mais elle fait intervenir une fonction hypergéométrique (voir  A008949).

On peut par contre exprimer simplement le terme central : ${\displaystyle B(2n,n)={\frac {4^{n}+{\binom {2n}{n}}}{2}}}$, voir la suite A032443 de l'OEIS.

Et la somme alternée partielle d'une ligne du triangle de Pascal s'exprime également simplement : ${\displaystyle \sum _{p=0}^{k}(-1)^{p}{\binom {n}{p}}=(-1)^{k}{\binom {n-1}{k}}}$.

${\displaystyle B_{n,k}=1+n+{\frac {n(n-1)}{2}}+\cdots +{\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}}$ est un polynôme en n de degré k. C'est l'unique polynôme de Lagrange de degré k , ${\displaystyle L_{k}}$, tel que ${\displaystyle L_{k}(n)=2^{n}}$ pour ${\displaystyle n=0,1,\cdots ,k}$.

Suites associées aux colonnes

Colonnes du triangle de Bernoulli avec indication en anglais de la suite correspondante et son numéro dans l'OEIS.

• ${\displaystyle B_{n,1}=n+1}$ est le nombre de parties d'un segment séparé par n points distincts.

• ${\displaystyle B_{n,2}={\frac {n^{2}+n+2}{2}}}$ est le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un disque (ou un convexe plan ) par n coupes rectilignes (voir la suite du traiteur paresseux).
• ${\displaystyle B_{n,3}={\tfrac {1}{6}}\left(n+1)(n(n-1)+6\right)}$ est le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un convexe de l'espace par n coupes planes (voir la suite des nombres gâteaux).
• Plus généralement, ${\displaystyle B_{n,k}}$ est le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un convexe de ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{k}}$ par n hyperplans affines.
• ${\displaystyle B_{n,4}=1+{\binom {n+1}{2}}+{\binom {n+1}{4}}}$ est aussi le nombre maximal de régions déterminées par les cordes joignant ${\displaystyle n+1}$ points sur un cercle [4] - [5] - [6] - [7] - [8].