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Triangle de Bernoulli

Le triangle de Bernoulli est une présentation en tableau triangulaire des sommes partielles des lignes du triangle de Pascal.

Il est répertorié comme suite A008949 de l'OEIS.

Description

Pour tout entier naturel n et tout entier k entre 0 et n, le terme de la ligne d'indice n et de la colonne d'indice k est donné par :

i.e., la somme des k + 1 premiers coefficients binomiaux de la ligne d'indice n du triangle de Pascal[1].

Les premières lignes en sont :

0 1 2 3 4 5
0 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 2 2 2
2 1 3 4 4 4 4
3 1 4 7 8 8 8
4 1 5 11 15 16 16
5 1 6 16 26 31 32

Le triangle a été complété par les termes pour , où dans ce cas .

On obtient donc le triangle de Bernoulli en ajoutant à chaque colonne du triangle de Pascal les colonnes précédentes.

Comme dans le triangle de Pascal, chaque terme du triangle de Bernoulli est la somme de deux termes de la ligne précédente, c'est-à-dire que :

L'initialisation pour le triangle est (identique à celle du triangle de Pascal), et .

Pour le triangle complété, il suffit de prendre .

Remarque : avec la même initialisation : , mais la relation de récurrence , on obtient , et avec la relation de récurrence : , on obtient , nombre de Delannoy.

Formule close

Il existe une formule close exprimant , mais elle fait intervenir une fonction hypergéométrique (voir OEIS A008949).

On peut par contre exprimer simplement le terme central : , voir la suite A032443 de l'OEIS.

Et la somme alternée partielle d'une ligne du triangle de Pascal s'exprime également simplement : .

Propriétés

est un polynôme en n de degré k. C'est l'unique polynôme de Lagrange de degré k , , tel que pour .

Somme d'un colonne

En itérant la relation de récurrence, on obtient que : chaque terme est la somme des termes de la colonne précédente (complétée) jusqu'à la ligne précédente augmentée de 1 ; par exemple, dans la ligne 4 : 15 = 7+4+2+1+1.

Somme d'une diagonale descendante

En itérant autrement la relation de récurrence, on obtient que : chaque terme est la somme des termes de la diagonale descendante jusqu'à la ligne précédente ; par exemple, dans la ligne 4 : 15 = 8+4+2+1.

Somme d'une diagonale montante

Comme dans le triangle de Pascal et d'autres triangles de construction similaire[2], la somme des termes d'une diagonale montante du triangle de Bernoulli complété s'exprime à l'aide de la suite de Fibonacci [3] : . Par exemple, à partir de la ligne 3 : . Si on se limite au triangle, ; voir la suite A079284 de l'OEIS.

Suites associées aux colonnes

Colonnes du triangle de Bernoulli avec indication en anglais de la suite correspondante et son numéro dans l'OEIS.
  • est le nombre de parties d'un segment séparé par n points distincts.
  • est le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un disque (ou un convexe plan ) par n coupes rectilignes (voir la suite du traiteur paresseux).
  • est le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un convexe de l'espace par n coupes planes (voir la suite des nombres gâteaux).
  • Plus généralement, est le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un convexe de par n hyperplans affines.
  • est aussi le nombre maximal de régions déterminées par les cordes joignant points sur un cercle [4] - [5] - [6] - [7] - [8].

Voir aussi

Article connexe

Lien externe

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bernoulli's triangle » (voir la liste des auteurs).
  1. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  2. Hoggatt, Jr, V. E., A new angle on Pascal's triangle, Fibonacci Quarterly 6(4) (1968) 221–234; Hoggatt, Jr, V. E., Convolution triangles for generalized Fibonacci numbers, Fibonacci Quarterly 8(2) (1970) 158–171
  3. Neiter, D. & Proag, A., Links Between Sums Over Paths in Bernoulli's Triangles and the Fibonacci Numbers, Journal of Integer Sequences, 19 (2016) 16.8.3.
  4. (en) « Maximal number of regions obtained by joining n points around a circle by straight lines », sur OEIS
  5. Alain Bouvier, La mystification mathématique, Hermann, , p. 37-39
  6. John H. Conway, Richard K. Guy, Le livre des nombres, Eyrolles, , p. 76-79
  7. (en) Marc Noy, « A Short Solution of a Problem in Combinatorial Geometry », Mathematics Magazine,‎ , p. 52 (lire en ligne)
  8. (en) Richard K. Guy, « The Strong Law of Small Numbers », American Mathematical Monthly, vol. 95, no 8,‎ , p. 697–698,706 (ISSN 0002-9890, DOI 10.2307/2322249, JSTOR 2322249, lire en ligne)
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