Suite des nombres gâteaux

Le nombre gâteau correspondant à n découpes est donné par les formules[1] :

${\displaystyle G_{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}={\tfrac {1}{6}}\left(n^{3}+5n+6\right)={\tfrac {1}{6}}\left(n+1)(n(n-1)+6\right).}$

Le seul nombre gâteau premier est 2.

Colonnes du triangle de Bernoulli avec indication en anglais de la suite correspondante et son numéro dans l'OEIS.

La suite des nombres gâteaux est l'analogue tridimensionnel de la suite du traiteur paresseux en dimension deux. La suite des différences entre deux nombres gâteaux successifs donne également la suite du traiteur paresseux [1].

La suite des nombres gâteaux est donnée par la quatrième colonne du triangle de Bernoulli complété, soit ${\displaystyle G_{n}=B_{n,3}}$.

Elle s'obtient en effectuant la somme des 4 premières colonnes du triangle de Pascal [2].

Supposons qu'il y ait déjà n – 1 plans découpant le "gâteau" en un nombre maximal ${\displaystyle G_{n-1}}$ de morceaux, et ajoutons un plan [2]. Ce plan va couper chacun des n – 1 plans suivant n – 1 droites. Ces droites découpent dans ce nouveau plan un nombre de régions égal au maximum à ${\displaystyle B_{n-1,2}}$ (suite du traiteur paresseux). Chacune de ces régions est une cloison séparant en deux un morceau précédent. Il y a donc ${\displaystyle B_{n-1,2}}$ morceaux qui sont coupés en deux, créant ainsi autant de nouveaux morceaux en plus des ${\displaystyle G_{n-1}}$ déjà présents ; donc ${\displaystyle G_{n}=B_{n-1,2}+G_{n-1}}$ ; en itérant, on obtient que ${\displaystyle G_{n}=B_{n-1,2}+B_{n-2,2}+\cdots +B_{0,2}+G_{0}=B_{n-1,2}+B_{n-2,2}+\cdots +B_{0,2}+1}$ ; ce nombre est bien ${\displaystyle B_{n,3}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}}$ (voir l'article triangle de Bernoulli).

Plus généralement, le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un hypercube de ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{k}}$ par n hyperplans affines est égal à ${\displaystyle B_{n,k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose k}}$.