Suite de Sidon

Paul Erdős et Pál Turán ont trouvé pour R₂(2, n) un encadrement[1], dont le minorant a été affiné simultanément par Erdős[5] et Sarvadaman Chowla[3] en utilisant une construction de James Singer[6] :

${\displaystyle n^{1/2}(1-n^{-\varepsilon })\leq R_{2}(2,n)\leq n^{1/2}+n^{1/4}+1,}$

le minorant étant valable pour n assez grand, avec ε tel que pour un tel n, il y ait toujours un nombre premier entre n – n^{1 – 2ε} et n (le record mentionné dans O'Bryant 2004 correspond à ε = 0,2375).

La suite R₂(2, n) est donc équivalente à √n, mais aucun progrès n'a été fait sur la conjecture d'Erdős qui prévoit que la différence R₂(2, n) – √n est non bornée, ni sur la positivité de cette différence[3].

Alfred Stöhr[7] a amélioré un résultat que lui avait communiqué Erdős, en démontrant que pour toute suite de Sidon infinie, si A(n) désigne le nombre de termes inférieurs ou égaux à n,

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{\sqrt {n/\log n}}}<\infty .}$

Dans la direction opposée, Fritz Krückeberg (de)[8] a amélioré un autre résultat de Stöhr, en montrant qu'il existe une suite de Sidon vérifiant

${\displaystyle \limsup _{x\to \infty }{\frac {A(n)}{\sqrt {n}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {2}}}.}$

Erdős a demandé[9] s'il existe une suite de Sidon (a_k) telle que a_k = o(k^{3 – ε}) pour un certain ε > 0. Ajtai, Komlós et Szemerédi en avaient en effet construit une telle que[10]

${\displaystyle A(n)>(n\log n)^{1/3}.}$

Imre Z. Ruzsa (en)[11] en a construit une telle que

${\displaystyle A(n)\sim n^{{\sqrt {2}}-1-o(1)}.}$

Erdős et Rényi ont démontré[12] que pour tout ε > 0 et pour tout h ≥ 2, il existe des g et des B_h[g]-suites de Sidon telles que a_k = O(k^{h + ε}).

Une autre conjecture d'Erdős est que la suite des puissances cinquièmes d'entiers > 0 est de Sidon. Ruzsa a démontré[13] qu'il existe un nombre irrationnel c (strictement compris entre 0 et 1) tel que l'image de l'application f(x) = x⁵ + [cx⁴] soit de Sidon, mais cette application f n'est même pas polynomiale. Cette conjecture d'Erdős, bien que non démontrée, a été généralisée par Lander, Parkin et Selfridge.

Les suites de Sidon finies sont exactement les règles de Golomb, puisque x + y = u + v équivaut à x – u = v – y.

• Somme d'ensembles
• Conjecture d'Erdős-Turán sur les bases additives
• Suite de Mian-Chowla