Somme de Dedekind

La somme de Dedekind est une fonction définie pour deux entiers de la manière suivante :

${\displaystyle s(k,h)=\sum _{r=1}^{k-1}{{\frac {r}{k}}\left({\frac {hr}{k}}-\left[{\frac {hr}{k}}\right]-{\frac {1}{2}}\right)}.}$

• Si l'on pose${\displaystyle ((x))={\begin{cases}x-[x]-1/2&{\mbox{si }}x{\mbox{ n}}'{\mbox{est pas entier}}\\0&{\mbox{sinon, }}\end{cases}}}$on peut écrire que${\displaystyle s(h,k)=\sum _{r{\mbox{ mod }}k}{\left(\left({\frac {r}{k}}\right)\right)\left(\left({\frac {hr}{k}}\right)\right)}.}$Cela permet d'exploiter le fait que ${\displaystyle ((x))}$ est périodique de période 1.
• Si ${\displaystyle h'\equiv \pm h[k]}$, alors ${\displaystyle s(h',k)=\pm s(h,k)}$ avec le même signe.
• Si ${\displaystyle h{\bar {h}}\equiv \pm 1[k]}$, alors ${\displaystyle s({\bar {h}},k)=\pm s(h,k)}$.
• Si ${\displaystyle h^{2}+1\equiv 0[k]}$, alors ${\displaystyle s(h,k)=0}$.

Si h et k sont premiers entre eux, alors :

${\displaystyle 12hk{\Big (}s(h,k)+s(k,h){\Big )}=h^{2}+k^{2}-3hk+1.}$

• Le nombre ${\displaystyle 6ks(h,k)}$ est entier.
• Si ${\displaystyle \theta =(3,k)}$ (avec (.,.) désignant le plus grand commun diviseur), on a :
  • ${\displaystyle 12hks(k,h)\equiv 0[\theta k]}$
  • ${\displaystyle 12hks(h,k)\equiv h^{2}+1[\theta k]}$
• On a aussi :${\displaystyle 12ks(h,k)\equiv (k-1)(k+2)-4h(k-1)+4\sum _{r<k/2}{\left[{\frac {2hr}{k}}\right]}{\mbox{ mod }}8.}$
• Si k = 2^λk₁ et k₁ impair, alors pour tout h impair :${\displaystyle 12hks(h,k)\equiv h^{2}+k^{2}++5k-4k\sum _{v<h/2}{\left[{\frac {2kv}{h}}\right]}{\mbox{ mod }}2^{\lambda +3}.}$
• Enfin, si q vaut 3, 5, 7 ou 13 et que r = 24/(q–1). Choisissons les entiers a, b, c et d tels que ad–bc = 1 et c = qc₁ et posons :${\displaystyle \delta =\left(s(a,c)-{\frac {a+d}{12c}}\right)-\left(s(a,c_{1})-{\frac {a+d}{12c_{1}}}\right).}$Alors δr est un entier pair.

(en) Tom Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag