Singularité de Prandtl-Glauert

L'écoulement est supposé descriptible par les équations de Navier-Stokes pour un écoulement faiblement compressible et irrotationnel d'un gaz parfait. Par suite la vitesse dérive d'un potentiel ${\displaystyle \textstyle \phi }$ :

${\displaystyle {\vec {V}}=\nabla \phi }$

Le corps est supposé élancé : ${\displaystyle \textstyle \phi _{x}\approx V_{\infty }>>\phi _{y},\phi _{z}}$ partout.

L'équation de conservation de cette quantité s'écrit[2] - [3] :

${\displaystyle \beta ^{2}\phi _{xx}+\phi _{yy}+\phi _{zz}=0\,,\quad \beta ={\sqrt {1-M_{\infty }^{2}}}}$

où ${\displaystyle \textstyle \phi _{\alpha \alpha }}$ est la dérivée seconde par rapport à α et β le coefficient de Prandl-Glauert. Cette équation est obtenue par linéarisation des équations dans l'hypothèse :

${\displaystyle \beta ^{2}>>(\gamma -1)M_{\infty }^{2}{\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}}$

où γ est l'indice adiabatique.

Dans l'équation le terme en ${\displaystyle \textstyle \beta ^{2}}$ représente l'effet de la compressibilité.

La vitesse à l'infini amont étant portée par l'axe x ainsi que la composante u de la vitesse, la condition d'entrée est :

${\displaystyle u_{\infty }=\phi _{x_{\infty }}=V_{\infty }\,,\quad v_{\infty }=\phi _{y_{\infty }}=0\quad \Rightarrow \quad \phi _{\infty }=V_{\infty }x}$

Les conditions aux limites sur l'objet sont, en remplaçant ${\displaystyle \textstyle \phi _{x}}$ par ${\displaystyle \textstyle V_{\infty }}$ :

${\displaystyle V_{\infty }{\vec {n}}_{x}+\phi _{y}{\vec {n}}_{y}+\phi _{z}{\vec {n}}_{z}=0}$

où ${\displaystyle \textstyle {\vec {n}}}$ est la normale au corps.

Pour la résolution on utilise la transformation suivante, attribuée à Ernst Mach et Hermann Glauert :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&=x\\{\bar {y}}&=\beta y\\{\bar {z}}&=\beta z\\{\bar {\phi }}&=\beta ^{2}\phi \end{aligned}}}$

Et par suite :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{\bar {x}}&=\beta n_{x}\\{\bar {n}}_{\bar {y}}&=n_{y}\\{\bar {n}}_{\bar {z}}&=n_{z}\end{aligned}}}$

L'équation de conservation devient une équation de Laplace :

${\displaystyle {\bar {\phi }}_{{\bar {x}}{\bar {x}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {y}}{\bar {y}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0}$

et la condition aux limites est inchangée :

${\displaystyle V_{\infty }{\bar {n}}_{\bar {x}}+{\bar {\phi }}_{\bar {y}}{\bar {n}}_{\bar {y}}+{\bar {\phi }}_{\bar {z}}{\bar {n}}_{\bar {z}}=0}$

L'équation est résolue par une méthode quelconque et l'on calcule le coefficient de pression transformé ${\displaystyle \textstyle {\bar {C}}_{p}}$. On remonte ensuite à l'expression dans le domaine physique en utilisant la règle de Göthert[3] - [4] :

${\displaystyle C_{p}=-2{\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}=-{\frac {2}{\beta ^{2}}}{\frac {{\bar {\phi }}_{\bar {x}}}{V_{\infty }}}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\bar {C}}_{p}}$

Cette expression illustre la singularité de Prandl-Glauert, en effet :

${\displaystyle \lim \limits _{M_{\infty }\to 1}C_{p}=\infty }$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prandtl–Glauert transformation » (voir la liste des auteurs).