Schéma fonctionnel

Schéma fonctionnel de fiabilité, blocs en série (haut). Exemple de circuit électrique d'éclairage (milieu) et de mécanisme de mise en mouvement en translation (bas).

Considérons un système formé de deux composants. Si les blocs sont en série, cela signifie que la défaillance de seulement un des composants suffit à provoquer la défaillance du système entier.

Les composants peuvent être effectivement en série ; par exemple, dans un circuit électrique formé d'une pile (générateur) et d'une ampoule, les éléments sont en série, et les blocs également (il suffit que le générateur ou la lampe soit défaillant pour que le système ne produise pas de lumière).

Mais les composants peuvent aussi être géométriquement en parallèle. Par exemple, un circuit RLC bouchon est en parallèle, mais la défaillance d'un seul composant modifie son fonctionnement, il ne peut donc plus remplir son rôle.

Ou encore, considérons un système mécanique faisant faire un mouvement d'aller-retour en ligne droite. La fonction « effectuer un aller-retour » est décomposé en :

• une fonction « guidage linéaire », réalisé par une glissière ;
• une fonction « actionneur linéaire », réalisé par un vérin ;

les deux pièces peuvent être mises en parallèle, pour autant, la défaillance d'un des deux composants suffit à mettre le système en panne, les blocs sont donc en série.

D'un point de vue qualitatif, l'association en série correspond au et logique. On peut dresser une « table de fonctionnement » (similaire à une table de vérité), un « 1 » indiquant le fonctionnement et un « 0 » une défaillance :

D'un point de vue quantitatif, si le premier composant a une loi de survie R₁(t) et le second une loi R₂(t), alors la loi de survie globale du système est :

R_s(t) = R₁(t)×R₂(t).

Si la fiabilité des composants suit une loi exponentielle (cas typique des composants électroniques) de paramètre respectif λ₁ et λ₂, alors le système suit une loi exponentielle de paramètre

λ_s = λ₁ + λ₂.

Le temps moyen de fonctionnement avant panne (MTTF) vaut :

${\displaystyle \mathrm {MTTF} ={\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}$

Schéma fonctionnel de fiabilité : blocs en parallèle.

Dans le cas d'une association parallèle, il faut que les deux composants soient défaillants pour provoquer la défaillance du système. Cela correspond à une redondance des matériels ; ceci est très utilisé dans l'aéronautique (doublement ou multiplication des circuits hydrauliques ou électriques), dans les systèmes d'alarme, dans la sûreté informatique (par exemple redondance des disques durs).

D'un point de vue qualitatif, l'association en parallèle correspond à un ou logique.

D'un point de vue quantitatif, si le premier composant a une loi de défaillance F₁(t) et le second une loi F₂(t), alors la loi de survie globale du système est :

F_s(t) = F₁(t)×F₂(t)

soit, avec les lois de survie :

1 - R_s(t) = (1 - R₁(t))×(1 - R₂(t))

ou encore

R_s(t) = 1 - (1 - R₁(t))×(1 - R₂(t)).

Si l'on suppose que les systèmes redondants sont identiques, c'est-à-dire qu'ils ont la même probabilité de défaillance, alors F₁ = F₂ = F, R₁ = R₂ = R et

F_s = F²

R_s = 1 - (1 - R)²

Si l'on a n systèmes redondants en parallèle, alors

F_s = Fⁿ

R_s = 1 - (1 - R)ⁿ

Schéma fonctionnel de fiabilité : système série et parallèle.

On peut avoir des systèmes ayant des composants en série et d'autres en parallèle. Par exemple, on a un moteur (repère 1) qui actionne deux pompes (rep. 2 et 3) :

• si le moteur est défaillant, le système s'arrête ;
• si une seule pompe est défaillante, le système peut continuer à fonctionner

Dans l'exemple ci-contre, la table de fonctionnement est :

Pour un calcul quantitatif, la partie en parallèle peut être remplacée par un composant global 2' dont la fiabilité est déterminée comme ci-dessus :

R_2' = 1 - (1 - R₂)×(1 - R₃)

et donc

R_s = R₁×R_2' = R₁×(1 - (1 - R₂)×(1 - R₃)).

De nombreux systèmes sont plus complexes, et donnent lieu à des diagrammes non-série et parallèle. Considérons par exemple le cas d'une alarme d'incendie, composée de :

• deux capteurs de fumée, repère 1 et 2, situés à deux extrémités d'un couloir traversant un bâtiment ;
• deux avertisseurs, rep. 4 et 5, également aux extrémités ;
• une centrale d'alerte, rep. 3.

En fonctionnement normal, les capteurs envoient le signal à la centrale qui active les deux avertisseurs : un seul détecteur déclenche les deux avertisseurs. Mais en cas de défaillance de la centrale, on prévoit aussi qu'un capteur active directement l'avertisseur le plus proche ; ainsi, la fumée étant mobile, on a au pire un retard dans le déclenchement d'un signal d'alerte. Le système est considéré comme défaillant si aucun avertisseur ne s'active en présence de fumée.

Finalement, le système est défaillant si :

• les deux détecteurs sont défaillants, ou
• les deux avertisseurs sont défaillants,

dans tous les autres cas, il existe un cheminement de l'entrée E à la sortie S.

La table de fonctionnement est fastidieuse à construire (2⁵ = 32 cas).

Pour faciliter l'analyse quantitative du système, on utilise la technique du conditionnement sur l'état d'un composant :

• cas 1 : on suppose que le composant 3 fonctionne, situation ayant une probabilité de survenir P(3) : la probabilité de fonctionnement du système est la probabilité conditionnelle P(s|3) ;
• cas 2 : on suppose que le composant 3 est défaillant, situation ayant une probabilité de survenir P(3) = 1 - P(3) : la probabilité de fonctionnement du système est la probabilité conditionnelle P(s|3) ;

on a alors

P(s) = P(3)×P(s|3) + (1 - P(3))×P(s|3).

Dans le cas 1, on a deux circuits en parallèle 1' = {1 ; 2} et 2' = {3 ; 4} qui sont en série, soit

P(1') = P(1∪2) = 1 - (1 - P(1))×(1 - P(2))

P(2') = P(4∪5) = 1 - (1 - P(4))×(1 - P(5))

P(s|3) = P(1')×P(2')

Dans le cas deux, on a deux circuits série 1" = {1 ; 4} et 2" = {2 ; 5} qui sont en parallèle, soit

P(1") = P(1∩4) = P(1)×P(4)

P(2") = P(2∩5) = P(2)×P(5)

P(s|3) = 1 - (1 - P(1"))×(1 - P(5"))

• Norme ISO 10628:1997 Schémas de procédé pour les unités de fabrication/de production — Règles générales ;
• Norme ISO 10628-2:2012 Schémas de procédé pour l'industrie chimique et pétrochimique — Partie 2: Symboles graphiques

• Algèbre des schémas
• Bond Graph
• Schéma de procédé
• Schéma tuyauterie et instrumentation
• Boîtes fonctionnelles
• Contre-réaction

Fiches pédagogiques de l'Institut de Maîtrise des Risques : Fiche Bloc diagramme de fiabilité (http://www.imdr.eu/upload/client/Fiches_methodes_FR2014.pdf)