Série zêta rationnelle

Un nombre de relations supplémentaires peuvent être déduites à partir des séries de Taylor pour la fonction polygamma ψ^(m) au point z = 1, qui est

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\zeta (m+k+1){\frac {z^{k}}{k!}}.}$

Ceci converge pour |z| < 1. Un cas particulier est

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }t^{n}\left[\zeta (n)-1\right]=-t\left[\gamma +\psi (1-t)-{\frac {t}{1-t}}\right],}$

valide pour |t| < 2. Ici, ψ est la fonction digamma et ψ^(m) est la fonction polygamma d'ordre m. Beaucoup de séries impliquant les coefficient binomiaux peuvent s'en déduire :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)}$

où ν est un nombre complexe. Ceci est issu du développement en série de la fonction zêta de Hurwitz

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)}$

pris en y = −1. Des séries similaires peuvent être obtenues par simple calcul algébrique :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=1,}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=2^{-(\nu +1)},}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+2}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\nu \left[\zeta (\nu +1)-1\right]-2^{-\nu }}$

et

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}.}$

Pour n entier naturel, la série

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

peut être écrite comme une série finie

${\displaystyle S_{n}=(-1)^{n}\left[1+\sum _{k=1}^{n}\zeta (k+1)\right].}$

Ceci se déduit d'une simple relation de récurrence S_n + S_n+1 = ζ(n + 2). Ensuite, la série

${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n-1 \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

peut être écrite sous la forme

${\displaystyle T_{n}=(-1)^{n+1}\left[n+1-\zeta (2)+\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}(n-k)\zeta (k+1)\right]}$

pour tout entier n ≥ 1. Ceci se déduit de l'identité T_n + T_n+1 = S_n. Ce processus peut être appliqué récursivement pour obtenir des séries finies pour les expressions générales de la forme

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+n-m \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

pour les nombres entiers positifs m.

Des séries similaires peuvent être obtenues en explorant la fonction zêta de Hurwitz pour les valeurs demi-entières. Ainsi, par exemple, on a

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\zeta (k+n+2)-1}{2^{k}}}{{n+k+1} \choose {n+1}}=\left(2^{n+2}-1\right)\zeta (n+2)-1.}$

Adamchik et Srivastava donnent

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=1+\sum _{k=1}^{m}k!S(m+1,k+1)\zeta (k+1)}$

et

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=-1+{\frac {1-2^{m+1}}{m+1}}B_{m+1}-\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k}k!S(m+1,k+1)\zeta (k+1)}$

où les B_k sont les nombres de Bernoulli et les S(m, k) sont les nombres de Stirling de deuxième espèce.

D'autres constantes ont des séries zêta rationnelles remarquables, comme la constante de Khinchin ou la constante d'Apéry.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rational zeta series » (voir la liste des auteurs).
• (en) Jonathan M. Borwein, David M. Bradley et Richard E. Crandall, « Computational Strategies for the Riemann Zeta Function », J. Comput. App. Math., vol. 121, n^os 1-2,‎ 2000, p. 247-296 (DOI 10.1016/S0377-0427(00)00336-8)
• (en) Victor S. Adamchik et Hari M. Srivastava, « Some series of the zeta and related functions », Analysis, vol. 18,‎ 1998, p. 131-144 (lire en ligne)