Sélection des matériaux

Dans la première situation, le faisceau subit deux forces: le poids de la gravité ${\displaystyle w}$ et tension ${\displaystyle P}$ . Les variables du matériau sont la densité ${\displaystyle \rho }$ et force ${\displaystyle \sigma }$ . Supposons que la longueur ${\displaystyle L}$ et tension ${\displaystyle P}$ sont fixes, ce qui en fait des variables de conception. Enfin l'aire de la section transversale ${\displaystyle A}$ est une variable libre. L'objectif dans cette situation est de minimiser le poids ${\displaystyle w}$ en choisissant un matériau avec la meilleure combinaison de variables de matériau ${\displaystyle \rho ,\sigma }$ . La figure 1 illustre ce chargement.

Figure 1. Poutre en traction pour minimiser le poids.

La contrainte dans la poutre est avec la relation ${\displaystyle P/A}$ alors que le poids est décrit par ${\displaystyle w=\rho AL}$ . La dérivation d'un indice de performance nécessite que toutes les variables libres soient supprimées, ne laissant que les variables de conception et les variables de matériau. Dans ce cas, cela signifie que ${\displaystyle A}$ doit être supprimé. L'équation de contrainte axiale peut être réorganisée pour donner ${\displaystyle A=P/\sigma }$ . En le substituant à l'équation de poids, on obtient ${\displaystyle w=\rho (P/\sigma )L=\rho LP/\sigma }$ . Ensuite, les variables du matériau et les variables de conception sont regroupées séparément, ce qui donne ${\displaystyle w=(\rho /\sigma )LP}$ .

Puisque les deux ${\displaystyle L}$ et ${\displaystyle P}$ sont fixes, et puisque le but est de minimiser ${\displaystyle w}$, donc le ratio ${\displaystyle \rho /\sigma }$ devrait être minimisé. Par convention, cependant, l'indice de performance est toujours une quantité qui doit être maximisée. Par conséquent, l'équation résultante est ${\displaystyle {\text{Performance index}}=P_{cr}=\sigma /\rho }$

Ensuite, supposons que le matériau soit également soumis à des forces de flexion. L'équation de contrainte de traction maximale de la flexion est ${\displaystyle \sigma =(-My)/I}$, où ${\displaystyle M}$ est le moment de flexion, ${\displaystyle y}$ est la distance de l'axe neutre, et ${\displaystyle I}$ est le moment d'inertie. Ceci est illustré à la figure 2. En utilisant l'équation de poids ci-dessus et en résolvant les variables libres, la solution obtenue est ${\displaystyle w={\sqrt {6MbL^{2}}}(\rho /{\sqrt {\sigma }})}$, où ${\displaystyle L}$ est la longueur et ${\displaystyle b}$ est la hauteur de la poutre. En admettant que ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle L}$, et ${\displaystyle M}$ sont des variables de conception fixes, l'indice de performance pour le pliage devient ${\displaystyle P_{CR}={\sqrt {\sigma }}/\rho }$ .

Figure 2. Poutre sous contrainte de flexion, avec comme objectif de minimiser le poids.

À ce stade, deux indices de performance ont été dérivés: pour la tension ${\displaystyle \sigma /\rho }$ et pour plier ${\displaystyle {\sqrt {\sigma }}/\rho }$ . La première étape consiste à créer un tracé log-log et à ajouter tous les matériaux connus aux emplacements appropriés. Cependant, les équations de l'indice de performance doivent être modifiées avant d'être tracées sur le graphique log-log.

Pour l'équation de performance de tension ${\displaystyle P_{CR}=\sigma /\rho }$, la première étape consiste à prendre le logarithme des deux côtés. L'équation résultante peut être réorganisée pour donner ${\displaystyle \log(\sigma )=\log(\rho )+\log(P_{CR})}$ . Notez que cela suit le format de ${\displaystyle y=x+b}$, ce qui le rend linéaire sur un graphique log-log. De même, l'ordonnée à l'origine est le logarithme de ${\displaystyle P_{CR}}$ . Ainsi, la valeur fixe de ${\displaystyle P_{CR}}$ pour la tension sur la figure 3 est de 0,1.

L'équation des performances de flexion ${\displaystyle P_{CR}={\sqrt {\sigma }}/\rho }$ peuvent être traités de la même manière. En utilisant la propriété puissance des logarithmes, on peut déduire que ${\displaystyle \log(\sigma )=2\times (\log(\rho )+\log(P_{CR}))}$ . La valeur pour ${\displaystyle P_{CR}}$ pour le pliage est ≈ 0,0316 sur la figure 3. Enfin, les deux lignes sont tracées sur le graphique d'Ashby.

Figure 3. Graphique d'Ashby avec des indices de performance tracés pour un résultat maximal

Premièrement, les meilleurs matériaux en flexion peuvent être trouvés en examinant quelles régions sont plus hautes sur le graphique que le ${\displaystyle {\sqrt {\sigma }}/\rho }$ ligne de pliage. Dans ce cas, certaines mousses (bleu) et céramiques techniques (rose) sont plus hautes que la ligne. Ce sont donc les meilleurs matériaux de pliage. En revanche, les matériaux qui sont bien en dessous de la ligne (comme les métaux en bas à droite de la zone grise) seraient les pires matériaux.

Enfin, le ${\displaystyle \sigma /\rho }$ la ligne de tension peut être utilisée pour «briser le lien» entre les mousses et les céramiques techniques. Les céramiques techniques étant le seul matériau situé plus haut que la ligne de tension, les matériaux de tension les plus performants sont les céramiques techniques. Par conséquent, le meilleur matériau global est une céramique technique en haut à gauche de la région rose telle que le carbure de bore .

L'indice de performance peut ensuite être tracé sur le graphique d'Ashby en convertissant l'équation en une échelle logarithmique. Ceci est fait en prenant le logarithme des deux côtés et en le traçant comme une ligne avec ${\displaystyle P_{cr}}$ étant l'intersection de l'axe y. Cela signifie que plus l'interception est élevée, plus les performances du matériau sont élevées. En déplaçant la ligne vers le haut du graphique d'Ashby, l'indice de performance augmente. L'indice de performance de chaque matériau traversé par la ligne est indiqué sur l'axe des y. Ainsi, se déplacer vers le haut du graphique tout en touchant une région de matériau est l'endroit où seront les performances les plus élevées.

Comme le montre la figure 3, les deux lignes se coupent vers le haut du graphique au niveau des familles des céramiques techniques et des composites. Cela donnera un indice de performance de 120 pour la charge de traction et de 15 pour la flexion. Si l'on prend en considération le coût des céramiques techniques, notamment parce que l'interception se situe autour du carbure de bore, ce ne serait pas le cas optimal. Un meilleur cas avec un indice de performance plus faible mais plus rentables concerne les composites d'ingénierie (par exemple les polymères renforcés de fibres de carbone).