Rampe (fonction)

La fonction rampe (${\displaystyle R:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$) peut être définie de différentes autres façons :

• la moyenne arithmétique de la variable et de la valeur absolue de celle-ci.${\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}$

  Ceci peut se déduire de la définition de la fonction ${\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}$, avec ${\displaystyle a=x}$ et ${\displaystyle b=0}$ ;

• la fonction de Heaviside multipliée par l'application identité :

${\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right)}$ ;

• la convolution de la fonction de Heaviside avec elle-même :

${\displaystyle R\left(x\right):=(H*H)\left(x\right)}$ ;

• l'intégrale de la fonction de Heaviside :

${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi }$.

• La fonction rampe est positive sur la droite réelle, et même nulle pour tout réel négatif.
• Sa dérivée est la fonction de Heaviside :

  ${\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {si} \ x\neq 0}$.

• Sa transformée de Fourier vaut

  ${\displaystyle {\mathcal {F}}R(f)=\int _{0}^{+\infty }R(x)\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi fx}={\frac {\mathrm {i} \delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}$,

  où δ' désigne la dérivée de la distribution de Dirac.

• Sa transformée de Laplace vaut

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}R(s)=\int _{0}^{+\infty }R(x)\operatorname {e} ^{-sx}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{s^{2}}}}$.

(en) Eric W. Weisstein, « Ramp function », sur MathWorld