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Réactivité d'un assemblage nucléaire

Dans une réaction en chaîne, la réactivité d'un système nucléaire ou d'un assemblage nucléaire dépend à la fois de la nature des matériaux présents (densité de matières fissiles, présence de modérateur...) et de sa géométrie (taille de l'assemblage, présence de réflecteurs neutroniques...) ; un assemblage est en règle générale d'autant moins réactif qu'il est petit, car les neutrons produits dans sa partie réactive se perdent au-delà de sa frontière dans un milieu moins réactif. On calcule donc souvent d'abord le facteur de multiplication d'un milieu supposé infini, qui est le maximum qui puisse être atteint par un milieu de nature donnée, puis on calcule la taille effective qu'il faut lui donner pour avoir une réactivité positive, compte tenu des conditions aux limites de l'assemblage (fuites et présence d'éventuels réflecteurs).

Réactivité d'un milieu infini

On parle de facteur de multiplication infini (noté ) lorsque le facteur de multiplication des neutrons est évalué en ne tenant compte que de la composition moyenne du milieu, mais pas de la géométrie de sa frontière (et donc, en particulier, en négligeant les fuites de neutrons) car ceci revient à décrire le processus dans un milieu réactif d’extension infinie. Ce est défini comme le rapport du nombre de neutrons d'une génération au nombre de neutrons de la génération précédente dans un milieu infini :

La formule des quatre facteurs donne un tour plus concret à en faisant apparaître les termes principaux qui le composent.

Évaluation estimative de dans le cas d'un réseau combustible type

On se propose de retrouver par un calcul estimatif la valeur typique de dans le cas d'un réseau de réacteur à eau sous pression[Note 1].

Une formulation simplifiée de chacun des quatre facteurs est donnée en fonction des deux caractéristiques primordiales du réacteur à eau pressurisée qui influent sur la réactivité à savoir :

  • l'enrichissement en uranium 235 noté : pour l'enrichissement en noyaux et pour l'enrichissement massique
  • le rapport de modération molaire (ou atomique) : noté = Rapport des concentrations volumiques des atomes d'hydrogène et d'uranium = Rapport des nombres d'atomes d'hydrogène et d'uranium[Note 2]

Les évaluations numériques sont celles du réseau combustible d'un réacteur proche du REP 900 MWe à l'état neuf, supposé exempt de poison neutronique.

  • [Note 3]
  • valeur à chaud 292,8 °C,
  • puissance nulle, avec:
de l'uranium enrichi en masse à 2,28 % et en noyaux à 2,31 %
un rapport de modération molaire type de 4,34

Les grandeurs numériques précisant la composition du cœur et plus généralement l'ensemble des éléments nécessaires au calcul sont rassemblées dans le tableau Notations - données - résultats en fin d'article

On appelle combustible au sens de l'application de la formule des quatre facteurs : l'oxyde d'uranium (+ le cas échéant d'autres atomes lourds), l'oxygène du combustible en fait partie mais non pas le zirconium des gaines considéré comme matériau de structure[Note 4].

Évaluation simplifiée du facteur η

= Nombre de neutrons de fission produits par capture de 1 neutron dans le combustible =

  • on exprime tous les termes en fonction de et
  • = Nombre de neutrons émis par fission ≈ 2,425 dans le cas de 235U
  • = Section efficace macroscopique de fission de l'uranium 235 =
= Section efficace microscopique de fission des atomes fissiles
= Concentration volumique des atomes fissiles dans le cœur
  • = Section efficace macroscopique de capture par les atomes fissiles =
= Section efficace microscopique de capture par les atomes fissiles du combustible
= Concentration volumique des atomes fissiles dans le cœur
  • = Section efficace macroscopique de capture par les atomes lourds non fissiles =
= Section efficace microscopique de capture par les atomes lourds non fissiles
= Concentration volumique des atomes lourds non fissiles dans le cœur
  • = Section efficace macroscopique de capture par les atomes d'oxygène du combustible =

En remplaçant et par leur valeur et en divisant numérateur et dénominateur par , il vient :

  • Mis à part l'enrichissement, tous les termes de la relation donnant η sont des constantes physiques. Les grandeurs interviennent en termes relatifs via des rapports et non point en valeur absolue ce qui confère une robustesse très relative au résultat vis-à-vis des variations de températures, spectre en énergie des neutrons et autres. Les valeurs trouvées pour η sont indépendantes de la concentration en matière fissile du milieu considéré ; elles ne dépendent que des concentrations relatives des corps présents dans le milieu exprimées par l'enrichissement en uranium 235.
  • On pose :
termes qui ne dépendent que des caractéristiques physiques des corps présents et non de l'enrichissement ou de la modération .

Formule simple :

  • avec :
  • Applicable pour

Le facteur η dépend prioritairement de l'enrichissement et marginalement de la modération.

Numériquement: (cf. tableau en fin d'article)

  • Termes de la formule simplifiée donnant :
  • Résultat:
Pour, un enrichissement massique moyen typique de 2,283 % soit 2,312 % en noyaux
η ≈ 1,777[Note 3]
Commentaire

Pour ce qui concerne la capture des neutrons (donc intervenant dans les facteurs η, f et p) du fait de sa très faible section efficace, l'oxygène peut être largement négligé devant les autres corps. En revanche l'oxygène contribue à la diffusion et au ralentissement des neutrons ; c'est même un excellent modérateur.

Évaluation simplifiée du facteur f

;

  • on exprime tous les termes en fonction de , et
  • = Section efficace macroscopique de capture dans le modérateur =
  • = Section efficace macroscopique de capture dans le zirconium et les structures = [Note 5]
Dans le réacteur à eau sous-pression électrogène le rapport entre le volume de zirconium et le volume d'UO2 ne varie que faiblement d'un modèle à l'autre. Il est égal au 1er ordre au rapport de la section du tube de zirconium à la section de la pastille d'UO2 qui ne change que très peu d'un réseau combustible crayon à l'autre, il en découle que le rapport est constant au 1er ordre d'un type de réacteur à l'autre. Il dépend toutefois de la température de fonctionnement du fait de la dilatation assez sensiblement différente de l'oxyde d'uranium et du zirconium [Note 6]. Avec les dimensions typiques des crayons combustibles, tubes guides, grilles de maintien des assemblages 17 × 17 en usage en France ce rapport est proche de 0,66. Si on dispose de la géométrie détaillée du combustible on peut aisément recalculer le facteur, à défaut la valeur de 0,66 donne un ordre de grandeur correct.

En remplaçant tous les termes par leur valeur et en divisant numérateur et dénominateur par , il vient :

On peut observer que f varie en fonction de l'enrichissement et de la modération.

Simplifications

Après division haut et bas par , il vient :

avec

On pose, comme dans le cas du facteur η :

termes sans dimension qui ne dépendent que des caractéristiques physiques des corps présents et non de l'enrichissement ou de la modération .
Formule simple


  • avec :
  • Applicable pour

Numériquement :(cf. tableau en fin d'article)

  • Termes de la formule simplifiée donnant f :
  • Résultat:
Pour un enrichissement moyen typique de 2,283 % en masse soit 2,312 % en noyaux
un rapport de modération atomique moyen Rm typique de 4,338,
f ≈ 0,9216[Note 3]

Évaluation simplifiée du facteur p

Liminaires

La relation générale se simplifie un peu en considérant qu'un seul groupe de noyaux capturant : l'uranium 238 de concentration , ce qui est le cas dans un cœur neuf ne contenant pas de plutonium.

= Intégrale effective de capture résonnante en ralentissement de l'uranium 238
  • exprime la balance entre deux termes :
Le numérateur, uniquement dépendant de est une fonction croissante de ; plus il y a d'atomes d'uranium 238 plus il y a de captures en ralentissement des neutrons.
Le dénominateur, uniquement dépendant de , est une fonction croissante de ; plus il y a d'atomes d'hydrogène moins il y a de chances pour qu'un neutron soit capturé avant qu'il soit thermalisé.

La modélisation de la modération via le terme préférentiellement à rend indépendantes les variables et . Ainsi dans le cas typique d'une variation d'enrichissement à rapport volumique de modération constant, façon pratique de réaliser les choses en réacteur à eau, le nombre d'atomes d'uranium total n'est pas changé et le terme reste constant.

Corrélations

On peut alors appliquer les deux relations empiriques suivantes[Référence 1] - [Référence 2] :

  • [Note 3], avec :
en at/cm3, et,
en barn
Cette relation rend compte au mieux des corrélations disponibles dans la littérature technique (cf. documents référencés ci-après) dans une large gamme de concentrations en uranium 238.
  • [Note 3], avec
sans dimension et
en cm−1
Cette corrélation rend compte de l'évolution de en fonction de , elle est cohérente avec l'ordre de grandeur des coefficients de température modérateur observés en fonctionnement et la valeur relative de l'optimum de modération par rapport aux conditions nominales de fonctionnement. (Ces valeurs sont fortement dépendantes de l'enrichissement du combustible)

Simplifications; on pose:

,
avec et
Formule simple
  • ,
avec , et
  • avec:
en at/cm3
, et sans dim
  • Applicable pour

Numériquement:(cf. tableau en fin d'article)

Pour un enrichissement moyen typique de 2,362 % en noyaux, un rapport de modération atomique moyen typique de 4,352
≈ 0,75[Note 3]
Remarque
Le facteur p est celui qui présente l'incertitude maximale dans ce modèle simplifié.

Évaluation simplifiée du facteur ε

Le facteur s'estime à partir de la formule générale :

avec :

  • = Probabilité qu'un neutron thermique capturé dans le combustible fissile en neutrons thermiques génère une fission
  • (U 235 est seul fissile en neutrons thermiques)
  • = Probabilité qu'un neutron rapide capturé dans le combustible fissile en neutrons rapides génère une fission.
  • (U 235 et 238 sont fissiles en neutrons rapides)
  • = Facteur d'utilisation rapide = Probabilité qu'un neutron rapide soit capturé dans le combustible fissile en neutrons rapides plutôt que dans un autre atome.
  • = Probabilité de non-fuite au niveau thermique
Remarques liminaires

Dans le cas d'un réacteur thermique, le facteur ε est un terme correctif exprimant la part de fissions rapides. ε est donc une fonction décroissante de la modération (à l'équilibre de remplacement des générations de neutrons (k effectif = 1) plus le cœur est modéré moins la contribution des fissions rapides est importante pour réaliser l'équilibre).

L'uranium 235, certes préférentiellement fissile en neutrons thermiques, l'est également en neutrons rapides et même il l'est davantage que l'uranium 238 (section efficace en gros 1,5 à 2 fois plus élevée). À priori une augmentation de l'enrichissement doit conduire à une augmentation de ε, ce qui est cohérent avec la proposition ci-dessus puisqu'une augmentation de l'enrichissement implique une diminution de la modération. Cet effet doit cependant rester modéré.

Le terme qui doit rester de l'ordre de 0,3 à 0,5 constitue une preuve par neuf de cohérence de l'évaluation des facteurs , , .

et sont déterminés par les relations données ci-dessus.

On note le terme

La relation empirique suivante donne α en fonction de la modération ce qui permet d'estimer ε connaissant les deux autres facteurs p et f.

Formule simple
    • , et sans dim
    • Applicable pour:
Remarques

La formule simple ci-dessus est potentiellement améliorable aux faibles et très fortes valeurs de .

La prise en compte dans le modèle simplifié du rapport qui vaut grossièrement est bien sûr aisément possible. De facto, ce rapport qui n'est qu'une proportionnalité se trouve inclus dans le terme α.

Il pourra être recherché un éventuel terme correctif de la valeur de α en fonction de l'enrichissement du cœur.

Numériquement: (cf. tableau en fin d'article)

Pour un rapport de modération atomique moyen typique de 4,338
α ≈ 0,1081
Connaissant f ≈ 0,9216 et p ≈ 0,7572
ε ≈ 1,038

Évolution de et en fonction des paramètres principaux du cœur

L'appréciation d'une modification de la constitution du réacteur sur la réactivité du cœur s'effectue en appréciant son impact sur chacun des 4 facteurs. Ceci peut être fait en utilisant les formules simplifiées.

Effet d'une variation de l'enrichissement sur les valeurs de et

Évolution de en fonction de l'enrichissement du cœur

varie fortement avec l'enrichissement du cœur, tous les facteurs sont concernés, toutefois les facteurs f et η sont principalement impactés.

Évolution qualitative des quatre facteurs avec l'enrichissement

La courbe jointe donne par application des formules simplifiées ci-dessus l'évolution de en fonction de l'enrichissement du cœur entre une teneur entre l'enrichissement naturel (0,7202 % en noyaux) et la valeur maximale pratique des usines d'enrichissement.

  • augmente fortement avec l'enrichissement et rejoint une valeur maximale asymptotique pour 100 % d'enrichissement égale à de l'ordre de 2,07 . (cf. tableau en fin d'article).
est le facteur prépondérant vis-à-vis de l'enrichissement
  • augmente avec l'enrichissement et rejoint une valeur maximale asymptotique très proche de 1 (comprise entre 0,98 et 1) pour 100 % d'enrichissement.
  • augmente faiblement avec l'enrichissement
  • diminue faiblement avec l'enrichissement

En résumé:

  • le produit varie et augmente avec l'enrichissement
  • le produit ne varie que très faiblement avec l'enrichissement

Aux fortes valeurs d'enrichissement (hors plage d'applicabilité des formules simplifiées) on observe:

  • un plafonnement de l'augmentation différentielle de réactivité vers 20 % d'enrichissement (valeur limite des réacteurs expérimentaux)
  • une augmentation linéaire de jusqu'à atteindre la valeur asymptotique à 100 % d'enrichissement.
Valeur en pcm (pour cent mille) de 1 % d'enrichissement

Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement massique de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % massique (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 8,143 (%/%) de la valeur de . L'augmentation (resp. diminution) de réactivité correspondante est égale à :

Cette valeur est un ordre de grandeur car outre les incertitudes propres au modèle simplifié la valeur « du % d'enrichissement » varie très fortement avec la valeur de l'enrichissement nominal autour duquel se trouve le % en question.

Dérivée de avec l'enrichissement

L'expression plus complète de la variation de détaillée dans la boîte déroulante en fonction de l'enrichissement est la relation suivante assez lourde:

Applicable pour

Le terme étant petit devant la valeur des enrichissements usuels on voit apparaitre au dénominateur de la dérivée de l'enrichissement du cœur au carré. Plus l'enrichissement augmente moins le gain relatif en réactivité est important, en revanche la masse de matière fissile est augmentée ce qui reste favorable du point de vue de l'énergie extractible du cœur.

Grandeurs invariantes avec l'enrichissement

Les grandeurs suivantes sont invariantes avec l'enrichissement du cœur (valeurs numériques données dans le tableau en fin d'article).

  • Volume du cœur
  • Volume d'oxyde d'uranium
  • Nombre de moles d'uranium dans le cœur
  • Concentration volumique des atomes d'uranium
  • Volume d'eau primaire dans le cœur
  • Température moyenne de l'eau primaire dans le cœur
  • Masse volumique de l'eau aux conditions nominales
  • Masse d'eau primaire
  • Concentration des atomes d'hydrogène
  • Rapport molaire de modération

Dans la variation d'enrichissement le nombre total d'atomes d'uranium reste constant, en revanche la masse d'uranium change. Dans le réseau cristallin de l'oxyde d'uranium les atomes d'uranium 238 sont remplacés par des atomes d'uranium 235 en cas d'augmentation de l'enrichissement (et inversement en cas de diminution de l'enrichissement).

L'invariance du nombre d'atomes d'uranium dans la variation d'enrichissement assure complètement l'indépendance des deux variables et

Évolution de avec la modération - Optimum de modération - Coefficient de température modérateur - Condition de stabilité - Reprise froid chaud

Les relations simplificatrices données ci-dessus permettent de fournir une description qualitative de la variation de avec la modération à enrichissement donné du cœur, et notamment les points suivant qui sont déterminant de la conception du cœur :

  • Optimum de modération et condition de stabilité;
  • Coefficient de température du modérateur et reprise froid-chaud.
Optimum de modération et condition de stabilité du cœur
Évolution des facteurs en fonction de la modération du cœur. Le facteur η qui varie peu avec la modération n'est pas figuré
Remarque liminaire - Éléments qualitatifs

L'expression générale de est lourde elle se simplifie toutefois légèrement :

.On remplace ε par sa valeur
est indépendant au 1er ordre de la modération (cf. ci-dessus facteur η)
est petit ( α = 0,125 pour Rm = 1,5 et 0,0605 pour Rm = 15 )
ne dépasse pas ≈ 0,5 pour NU8 = 1,5 × 1022 at/cm3 et Rm = 1,5 ; donc le produit est petit devant , on le néglige dans la recherche du maximum de
Ces hypothèses reviennent de facto à considérer que et sont invariants avec la modération, ce qui est correctement vérifié avec toutefois une incertitude 0,2 unité de

Ainsi donc au 1er ordre :

est croissant avec
est décroissant avec ,
présente un maximum en fonction de , pour le couple tel que :
Recherche graphique de l'optimum de modération

Le produit présente un maximum pour voisin de 8 ce qui rend compte de l'effet de maximum.Q

Recherche analytique de l'optimum de modération

Il est possible de trouver une formulation analytique de l'optimum de modération en fonction des différents paramètres ce qui peut permettre une étude paramétrique simple. est donné par la relation [Note 7]

avec ; valeur estimée du maximum de modération proche de

Ceci permet de retrouver quelques éléments de tendance importants :

L'optimum de modération augmente avec l'enrichissement:

Une augmentation (resp. diminution) de 1 % de l'enrichissement autour du point moyen de 2,433 % en masse, augmente (resp.diminue ) le rapport d'environ 10 %. Plus le cœur est enrichi plus il est « naturellement » stable, plus il est facile de le rendre auto-stable.

Dans la plage des enrichissements équivalents en usage sur les REP électrogènes donc entre 1,5 et 3,5 % d'enrichissement les ordres de grandeurs usuels sont restitués par le modèle simple.

La plage des faibles enrichissements conduit comme cela est normale à des configurations instables:

Un cœur enrichi à moins de 1,27 % en noyaux est stable à chaud mais ne vérifie pas la condition de stabilité à froid.
1,12 % apparaît comme la limite inférieure d'enrichissement autorisant la divergence à chaud avec une marge d'exploitation suffisante ( > 1,05 ). Mais ceci n 'est réalisé que pour un rapport de modération proche de l'optimum, donc dans une configuration non stable.

La plage des forts enrichissements apparait correctement modélisée; la marge en réactivité importante est utilisable pour décrire le contrôle à l'acide borique.

Ces constats recoupent les dispositions prises sur les RBMK après l'accident de Tchernobyl où une augmentation de l'enrichissement utilisé a permis de rendre stable le cœur qui ne l'était pas antérieurement

Condition de stabilité du cœur

Le cœur est stable si . En effet toute augmentation de température du cœur provoque une diminution de par dilatation de l'eau contenue dans le cœur.

Ceci conduit à la relation:

Cette inégalité doit être vérifiée sur toute la plage de fonctionnement du réacteur :

  • à chaud conditions nominales
  • à froid
  • durant toute l'exploitation donc avec une consommation de matière fissile équivalent au 1er ordre à une réduction de l'enrichissement.

Plus l'enrichissement du cœur est élevé plus la condition de stabilité est aisée à satisfaire. Parmi les modifications apportées aux RBMK pour les rendre stables en toutes circonstances une a consisté à augmenter l'enrichissement du cœur.

Coefficient de température modérateur - Reprise de réactivité "froid-chaud"
Coefficient modérateur

La modélisation de la variation de en fonction de permet d'apprécier le coefficient de réactivité de température du modérateur dont l'importance est déterminante pour le fonctionnement puisqu'il autorise l'auto-stabilité du réacteur à eau pressurisée.

La valeur trouvée avec le modèle simplifié est de - 37,8 pcm/°C.

Reprise froid/chaud

Le réchauffage du réacteur à puissance nulle à partir des conditions d'arrêt froid est consommateur de réactivité. On peut en donner une appréciation à l'aide des formules simples.

  • Valeurs influant sur la réactivité à chaud:
  • Valeurs influant sur la réactivité à froid:
Modération - Aspect pratique
Courbe donnant l'allure de l'évolution du rapport de modération atomique.

À la conception du cœur il est possible de choisir le rapport de modération c'est-à-dire le rapport entre la concentration volumique des atomes modérateurs et la concentration volumique des atomes fissiles. Par exemple de façon pratique dans le cas des réacteurs à eau pressurisée en faisant varier le pas régulier de disposition des crayons combustibles :

  • Si les crayons sont très rapprochés les uns des autres la quantité de modérateur offerte aux neutrons pour être ralentis est insuffisante et le rapport de multiplication en réseau infini diminue.
  • Si les crayons sont très éloignés les uns des autres la probabilité qu'un neutron émis dans le combustible et thermalisé dans le modérateur rencontre un autre atome fissile diminue et le rapport de multiplication en réseau infini diminue.
  • Entre les deux situations ci-dessus, il s'en trouve une ou le rapport : nombre d'atomes modérateurs / nombre d'atomes fissiles conduit au maximum de ; c'est l'optimum de modération.

Le dessin du réseau combustible détermine au 1er ordre le rapport atomique (ou molaire de modération). La généralisation des assemblages 17 × 17 ou 15 × 15 pour raison industrielle en usage sur les REP électrogènes encadre ainsi la plage de modération accessible dans la plage où les conditions générales de stabilité du cœur sont satisfaites avec de bonnes marges permettant l'optimisation du cycle du combustible.

Comparaison avec les réacteurs d'Oklo

Il pourra être tiré du résultat ci-dessus quelques conclusions simples sur les réacteurs de la mine d'Oklo et de Bangombé au Gabon qui présentent un certain nombre de points communs avec les REP électrogènes de puissance. En effet, si on compare le réseau combustible d'un REP 900 MWe à celui des réacteurs de la mine d'Oklo :

  • le combustible est de l'oxyde d'uranium dans les deux cas
  • le modérateur est de l'eau légère dans les deux cas
  • le réacteur REP tel que calculé ci-dessus est chaud, il est sous modéré dans ces conditions
  • le réacteur REP est à l'optimum de modération à froid (20 °C)[Note 8]
  • le rapport atomique (ou molaire) optimal de modération à froid du REP 900 MWe (= rapport des concentrations en hydrogène et uranium 235) vaut sensiblement = 228,6 ; les conditions de criticité dans le cas de Oklo sont évaluées avec la même valeur.
  • la valeur de est égale à en retenant une reprise froid chaud de 5 000 pcm
  • le facteur supplémentaire d'optimum de modération (reprise froid/chaud = 1,051 27) est supposé influer sur le facteur f en ce qui concerne la capture dans l'uranium 238 dont la section efficace microscopique de capture est prise moins élevée qu'à chaud jusqu'à obtenir la valeur de f souhaitée (environ 1,1353 contre 2,72 barn)[Note 9]
  • le réacteur d'Oklo diverge à minima à froid à l'optimum de modération [Note 10]
  • la gangue du minerai d'Oklo se compare au zirconium du REP 900 [Note 11], en tous les cas on peut admettre que la section efficace macroscopique correspondante ne peut être inférieure à celle du zirconium du REP 900 soit 0,000 863 5 cm−1
  • la valeur du facteur antitrappe est inchangée
  • la valeur du facteur ε est inchangée ; il pourrait toutefois être tenu compte de ce que le facteur ε est grossièrement proportionnel à la proportion d'uranium 238 laquelle est un peu plus élevée dans le REP 900 MWe qu'à Oklo
  • l'enrichissement moyen du REP 900 MWe vaut 2,433 % (en noyaux = 2,464 %) ; l'enrichissement du 1er réacteur d'Oklo qui a fonctionné il y a près de 1,95 milliard d'années est pris égal à 3,61 % en masse (en noyaux = 3,66 %)
  • en effectuant le calcul des 4 facteurs par la méthode simple donnée dans la boite déroulante, la concentration en uranium 235 qui rend critique à froid ()à l'optimum de modération le réacteur d'Oklo est trouvée égale à 2,474 × 1018 at/cm3 (soit une concentration environ 100 fois moindre que celle du REP 900 MWe)
  • la teneur en uranium du minerai de densité égale à 2,5 correspondante est proche de 10,7 kg d'uranium par tonne de minerai ce qui est élevé mais rencontré dans les gisements en exploitation dans le monde
  • la concentration en atomes d'hydrogène est prise égale à celle de l'optimum de modération = 5,656 × 1020 at/cm3 ; elle correspond à une teneur massique en eau du minerai de 3,38 kg/tonne ce qui semble réaliste
  • à simplement remarquer que les évaluations faites du fonctionnement des réacteurs d'Oklo conduisent bien entendu à une contribution du plutonium 239 formé mais la période est très faible devant la durée totale du fonctionnement des réacteurs
Grandeur physique REP 900 à 304,5 °C REP 900 à 20 °C Oklo Unité Commentaire
Coefficient 1,3561,4251sans dimValeur minimale à Oklo
Rapport de modération atomique164,1228,6228,6sans dimValeur minimale à Oklo
Enrichissement en noyau en U52,464 %2,464 %3,6584 %at/cm3Valeur estimée à Oklo il y a 1,95 milliard d'années
Concentration des atomes d'U51,698 × 10201,698 × 10202,474 × 1018at/cm3Valeur minimale à Oklo
Concentration des atomes d'H2,786 × 10223,881 × 10225,656 × 1020at/cm3Valeur pouvant varier quelque peu à Oklo
Section efficace de capture dans l'U82,721,13531,1353barnMoins élevé à froid
Coefficient ε = facteur correctif de fissions rapides1,071,071,0565sans dimMoins élevé à Oklo du fait de l'enrichissement plus élevé
Coefficient η = neutrons de fission2,1052,1052,105sans dimNe dépend que du seul atome fissile = uranium 235
Coefficient p = facteur antitrappe0,750,750,75sans dimModérateur identique
Coefficient f = utilisation thermique0,80250,84370,5992sans dim
Section efficace macroscopique des gaines ou gangue0,000 863 50,000 863 50,000 863 5cm−1Valeur minimale à Oklo
Densité moyenne du minerai2,5sans dimValeur classique
Teneur massique en uranium du minerai10,69kg/tValeur minimale à Oklo pour diverger [Note 12]
Teneur massique en eau du minerai3,38kg/tValeur ayant fluctué à Oklo
Puissance thermique104,2 × 106100W/m3Valeur ayant largement fluctué à Oklo
Durée de fonctionnement1500 000ansEn moyenne

Réactivité d'un milieu limité

Le facteur de multiplication effectif (noté ) est évalué en prenant en compte le fait que la zone réactive est d'extension finie, et qu'une partie des neutrons sont perdus par effet de fuite. La proportion de neutrons qui fuient dépend de la taille et de la forme du milieu considéré.

Le rapport entre et vaut

où :

  • est le coefficient de multiplication en milieu infini des neutrons
  • est l’aire de migration des neutrons
  • est le laplacien géométrique des neutrons.

À titre d'exemple, pour un cœur de géométrie cylindrique, est donné par la relation suivante :

où :

  • 2,404 83 est le premier zéro de la fonction de Bessel de 1er rang noté
  • est la hauteur du cœur
  • est la distance axiale d'extrapolation
  • est le rayon du cœur
  • est la distance radiale d'extrapolation.

En pratique, pour un grand cœur proche de l'ortho-cylindre.

Forme du cœur minimisant les fuites

Pour un volume donné du cœur (un volume V donné de combustible), le dessin minimisant les fuites est bien entendu celui d'une sphère. Cependant le réacteur sphérique est malcommode de construction et d'exploitation. En pratique la majorité des réacteurs sont de forme cylindrique à axe vertical (ce qui permet d'avoir des éléments unitaires -surement sous-critiques- identiques, une manutention commode de ces éléments pour la constitution du cœur et le rechargement du combustible et qui rend possible la manœuvre gravitaire des absorbants de contrôle de la réactivité)[Note 13]. On peut alors s'intéresser à la forme du cylindre qui minime les fuites à volume donné de combustible.

La probabilité de non-fuite s'écrit : avec :

  • = aire de migration ;
  • ;
  • = Économie de réflecteur = Constante qui dépend du réflecteur.

À volume V de cœur donné, la probabilité de non-fuite est maximale lorsque est minimal.

La recherche analytique du minimum de est malaisée du fait de la lourdeur de la fonction dérivée (polynôme du 6e degré). En revanche, si on néglige les effets de bords (par exemple s'il n'y a pas de réflecteur), ce qui revient à prendre , on peut aisément donner une solution analytique à la recherche du minimum de



Dans le cas général où ne peut être négligé, on effectue la recherche du rapport optimal en deux temps :

  • Une première estimation consiste à appliquer les relations ci-dessus au cœur non extrapolé qui donnent d et h (valeurs intermédiaires) :
on en déduit le volume extrapolé du cœur[Note 14]. .
  • Une bonne approximation du dessin à fuites minimales est alors obtenue en appliquant les relations ci-dessus au volume et dimensions extrapolés du cœur, soit donc pour finir :


avec :
  • = volume extrapolé du cœur
  • = distance d'extrapolation
  • Numériquement: (cf. Tableau en fin d'article)
= Valeur proche du cas d'un REP 900 MWe

En étudiant pas à pas le signe de la fonction dérivée au voisinage des valeurs ci-dessus on montre que le cas d'un cœur de volume proche de celui d'un REP 900 MWe, la valeur minimale de est obtenue pour R = 166,4 cm, soit D = 332,8 cm et H = 305,4 cm et un rapport diamètre / hauteur égal à 1,0895, donc un cylindre de forme légèrement plus aplatie que l'orthocylindre dans lequel D = H = 323,40 cm et de hauteur moindre que la hauteur réelle du cœur égale à 366 cm. Ce résultat ne dépend pas de la valeur de l'aire de migration.

Démonstration
Cas général avec une économie de réflecteur non négligeable
  • Probabilité de non-fuite
  • = Constante qui dépend du réflecteur = 8,27 cm environ dans le cas de l'eau à la température de fonctionnement d'un REP
  • Volume du cœur = V = 26,671 m3 = Constante = Valeur proche du cas d'un REP 900 MWe
  • La probabilité de non-fuite est maximale lorsque est minimal
  • Il n'est pas aisé de donner une solution analytique à la recherche du minimum de . La dérivation par rapport à débouche en effet sur la résolution -aléatoire- d'un polynôme du 6e degré. Pour simplifier le problème on s’intéresse en un premier temps au cas où
Cas simplifié où l'économie de réflecteur est égale à zéro
V = volume du cœur = constante

Par ailleurs :

, d'où

En résumé :



La forme qui minimise les fuites est donc celle d'un orthocylindre légèrement aplati.

Toutefois, dans l'exemple ci-dessus les fuites calculées avec une aire de migration M2 = 46,06 cm2 valent 1 338 pcm avec la hauteur combustible réelle du cœur du REP 900 MWe égale à 366 cm et 1 303 pcm avec la hauteur de 305,5 cm. L'écart est donc faible (Il représente cependant sensiblement 1 °C de température de fonctionnement).

Ces résultats sont surtout intéressants dans le cas des petits cœurs où les fuites sont importantes. Par exemple, si le volume du cœur vaut m3 (donc pour une puissance de l'ordre de 100 MWth) et en tenant compte de l'économie de réflecteur :

Fuites dans un cœur de m3
Cœur à fuites minimales Cœur orthocylindrique Cœur élancé Cœur aplati Unité
Hauteur 102,0 108,4 127,3 80,0 cm
Diamètre 111,7 108,4 100,0 126,2 cm
Fuites -9508 -9534 -9822 -9899 pcm
Température
de fonctionnement
Nominale -1 -10 -12 °C

Dans le cas des réacteurs à eau sous-pression on doit également tenir compte de ce que le diamètre du cœur détermine aussi celui de la cuve ce qui peut inciter à avoir un cœur plus élancé que celui qui minimise les fuites.

En dépit de cela, le cœur de l'EPR augmente sensiblement le nombre d'assemblages par rapport au cœur N4 sans accroitre la hauteur combustible pour de multiples raisons industrielles ce qui ne nuit pas aux fuites totales hors du cœur comme démontré ci-dessus et la cuve est de diamètre augmenté. Comme souvent les choix d’ingénierie sont à compromis multiples et les optimums sont plats.

Autres paramètres du réseau influant sur la réactivité

Échantillonnage du combustible

Suivant la forme géométrique suivant laquelle le combustible est disposé pour une même puissance spécifique la température à cœur du combustible peut varier de façon importante. On montre que pour une même densité de puissance, l'écart de température entre les températures moyennes et maximales à cœur du combustible et la température du réfrigérant varie au 1er ordre comme le carré du diamètre des pastilles combustibles et partant, l'anti-réactivité d'effet Döppler se trouve augmentée en rapport dans le cours du fonctionnement et les sollicitations thermomécaniques du combustible accrues.

Notations, données et résultats

Le présent article utilise un assez grand nombre de données numériques qui pour raison de commodité sont regroupées les tableaux déroulants ci-dessous.

Sont données dans l'ordre:

  • les caractéristiques géométriques typiques d'un cœur de réacteur à eau sous pression électrogène proches de celles d'un réacteur du palier p. 4/P'4
  • les données fonctionnelles principales
  • les sections efficaces intervenant dans la modélisation simplifiée
  • les autres données.

Avertissement: les valeurs sont données en général avec 4 chiffres significatifs pour éliminer les erreurs d'arrondis de calcul, toutefois la précision de l'estimation n'est pas meilleure que +/- 5 %; soit donc l'inégalité :

0,95 × Valeur estimée par le calcul < Valeur exacte < 1,05 × Valeur estimée par le calcul
Caractéristiques typiques d'un réacteur à eau sous-pression
Grandeur physique État
réacteur
Notation Valeur Unité Source Commentaire
Puissance thermique
du cœur
3 797 MWth Réacteurs
nucléaires
en France
Puissance chaudière = Puissance cœur + puissance thermique des pompes primaires
Température moyenne de
l'eau primaire dans le cœur
292,8 °C REP Conditions d'arrêt chaud critique
Masse volumique moyenne de
l'eau primaire dans le cœur
C 740,84 kg/m3 Molécule
d'eau
Corrélation donnée à l'article molécule d'eau
F 998,3 kg/m3
Dilatabilité de l'eau~. C -1,980 kg/m3/K Molécule
d'eau
Grandeur utile pour évaluer le coefficient de température modérateur
100 °C
30 bar
-0,7177 kg/m3/K Corrélation donnée à l'article molécule d'eau - La valeur donnée est cependant issue directement des tables
20 °C
6 bar
-0,1992 kg/m3/K La corrélation (dérivable) permet d'évaluer la dilatabilité de l'eau - La valeur donnée est cependant issue directement des tables
Volume du cœur C 38,703 m3 Centrales
en France
La situation C (à chaud) s'entend réacteur à l'arrêt chaud critique à puissance nulle
F 38,107 m3
Hauteur combustible C 4,270 m
F 4,229 m
Diamètre équivalent C 3,387 m
F 3,371 m
Flux neutronique
thermique
n/cm2/s
Flux neutronique
thermique à l'équilibre
3,2 × 1013 n/cm2/s [Note 15]
Masse d’uranium 103 801 kg Centrales
en France
La masse d'uranium varie légèrement avec l'enrichissement du cœur
Enrichissement moyen
en uranium 235
M 2,283 % sans dim REP Valeur cohérente avec la référence[Référence 2]
A 2,312 % sans dim
Masse d’uranium 235 2 370 REP
Masse de zirconium
dans le cœur
C 26 070 kg
F 25 952 kg La dilatation plus importante de l'oxyde d'uranium fait qu'une quantité plus importante de zirconium se trouve dans le réseau combustible à chaud qu'à froid
Masse d'eau primaire
dans le cœur
C 17 044 kg REP
F 22 147 kg [Note 16]
Masse molaire de l'hydrogène 1,007 94 g/mol CODATA [Note 17]La composition isotopique protium / deutérium est la composition naturelle
Masse molaire de l'oxygène 15,9994 g/mol CODATA [Note 17]
Masse molaire de l'uranium 235 235,0439 g/mol CODATA [Note 17]
Masse molaire de l'uranium 238 238,0508 g/mol CODATA [Note 17]
Masse molaire de l'uranium enrichi à 2,283 % massique 237,977 g/mol Calcul
Masse molaire de l'oxyde d'uranium enrichi à 2,283 % massique 269,980 g/mol Calcul
Nombre de moles
d'uranium
dans le cœur
4,362 × 105 sans dim Calcul
Nombre de moles
d'uranium 235
dans le cœur
1,008 × 104 sans dim Calcul L'uranium 234 est bien sûr négligé et inclus, ipso facto, dans l'uranium 238
Nombre de moles
d'uranium 238
dans le cœur
4,261 × 105 sans dim Calcul
Concentration des atomes d'uranium C 11,270
6,787 × 1021
mol/L
at/cm3
Calcul [Note 18]
F 11,446
6,892 × 1021
mol/L
at/cm3
Calcul
Nombre de moles
d'hydrogène dans le cœur
C 1,892 × 106 sans dim
F 2,459 × 106 sans dim
Concentration des atomes
d'hydrogène dans le cœur
C 48,89
2,944 × 1022
mol/L
at/cm3
[Note 18]
F 64,52
3,885 × 1022
mol/L
at/cm3
[Note 18]
Nombre total de moles
d'oxygène dans le cœur
C 1,818 × 106 sans dim Calcul 2 \times U + H / 2
F 2,102 × 105 sans dim Calcul Quasiment autant d'atomes d'oxygène que d'hydrogène dans le cœur
Rapport de modération
molaire (ou atomique)
C 4,338 sans dim Calcul [Note 18] - [Note 3]
F 5,637 sans dim Calcul
Rapport de modération
volumique
C 1,970 sans dim Calcul = Volume eau / Volume UO2 - Valeur cohérente avec la référence[Référence 2]
F 1,936 sans dim Calcul [Note 19]
Rapport de modération
massique
C 0,1447 sans dim Calcul = Masse eau / Masse UO2
F 0,1881 sans dim Calcul
Nombre de moles
de zirconium dans le cœur
C 2,858 × 105 sans dim [Note 20]
F 2,845 × 105 sans dim
Concentration
du zirconium dans le cœur
C 4,447 × 1021 at/cm3 [Note 20]
F 4,496 × 1021 at/cm3
Rapport des concentrations
du zirconium/uranium dans le cœur
C 0,6522 sans dim [Note 20]
F 0,6552 sans dim


Les 4 facteurs - Variation avec l'enrichissement
Grandeur physique État
réacteur
Notation Valeur Unité Source Commentaire
Coefficient multiplicatif infini chaud 1,287 sans dim Calcul Cœur neuf, sans poison, aux conditions nominales d'arrêt chaud - Puissance nulle. pour et
froid 1,304 sans dim Calcul
Facteur de reproduction chaud 1,777 sans dim Calcul Cœur neuf, sans poisons, aux conditions nominales de fonctionnement à chaud, à puissance nulle.
froid 1,777 sans dim Calcul La valeur de à puissance nulle ne dépend pas des conditions de température
Valeur asymptotique de
à 100 % d'enrichissement
2,073 sans dim Calcul Évaluation théorique donnant l'allure de la variation de avec
Facteur d'utilisation thermique à chaud 0,9216 sans dim
froid 0,9021 sans dim L'augmentation de fait diminuer à froid
Valeur asymptotique de
à 100 % d'enrichissement
≈0,998 sans dim Calcul Calcul théorique "de tendance" destiné à illustrer le sens de variation du facteur
Facteur anti-trappe chaud 0,7572 sans dim Calcul En cours de consolidation
froid 0,7902 sans dim Calcul
Facteur de fissions rapides chaud 1,039 sans dim
froid 1,028 sans dim
Dérivée: C 9,239 %/% La valeur à chaud est seule donnée. L'effet de température sur n' a pas d'importance pratique.
Dérivée: C 6,322 %/% Pour l'enrichissement nominal de 2,283 % en masse et 2,312 % en noyaux
Dérivée: C 2,896 %/%
Dérivée: C 0,1486 %/% est faiblement croissant avec
Dérivée: C -0,1272 %/% est légèrement décroissant avec
Dérivée: C 0,037 44 %/% Le produit est très faiblement croissant avec . Sa variation peut être négligée devant celle du produit
Valeur en réactivité de 1 % d'enrichissement massique C 8 212 pcm Variation centrée géométriquement autour du point 2,433 % soit de 1,984 à 2,984 % en masse et de 2,009 à 3,021 % en noyaux. Cette valeur dépend fortement de l'enrichissement au point central.


Variation des facteurs avec la modération
Grandeur physique État
réacteur
Notation Valeur Unité Source Commentaire
Dérivée: C 0,033 44 sans dim Calcul
F 0,012 62 sans dim Calcul Malgré ses imperfections, le modèle simplifié rend compte de la stabilité du cœur
Dérivée: à chaud -0,011 13 sans dim Calcul [Note 21]
F −6,827 × 10−4 sans dim Calcul
Dérivée:
C −4,865 × 10−4 sans dim Calcul Avec l'enrichissement retenu le cœur est stable en eau claire à toute température
F −1,467 × 10−5 sans dim Calcul La stabilité du cœur à froid, avec des marges faibles, est décrite par le modèle simplifié.


Grandeurs fonctionnelles principales
Grandeur physique État
réacteur
Notation Valeur Unité Source Commentaire
[Note 3]Reprise "froid/chaud" de réactivité du cœur 1348 pcm Le modèle simplifié rend grossièrement compte de la reprise de réactivité en eau claire - Valeur cependant sous estimée par rapport au constat en exploitation des réacteurs.
Coefficient de température modérateur à chaud -28,91 pcm/°C L'eau primaire est supposée exempte d'acide borique, son utilisation fait baisser le coefficient de température modérateur en valeur absolue. À basse température et en eau borée le coefficient peut devenir positif
à froid -0,66 pcm/°C Pour des températures inférieures à 100 °C et dès lors que l'intégrale reste modérée (< 100 pcm), on peut admettre un coefficient de température légèrement positif


Formules et coefficients de détermination des 4 facteurs - Sections efficaces
Grandeur physique État
réacteur
Notation Valeur Unité Source Commentaire
Nombre de neutrons émis par fission thermique 2,425 sans dim Fission nucléaire [Référence 2] - [Référence 3]
Terme 2,082 sans dim Calcul
Les valeurs à froid et à chaud sont égales
Terme 3,949 × 10−3 sans dim Calcul
Les valeurs à froid et à chaud sont égales
Facteur
Terme
4,902 × 10−4 sans dim Calcul Invariant avec la température
Facteur
Terme
à chaud 0,3641 sans dim Calcul
à froid 0,3626 sans dim Calcul Faible variation du fait de la variation de la quantité de zirconium présente dans le flux neutronique entre les situations cœur chaud/cœur froid
Facteur anti-trappe
Terme
3,014 0 × 10−12 sans dim En cours de consolidation
Facteur anti-trappe
Exposant
0,667 sans dim En cours de consolidation
Facteur anti-trappe
Exposant
0,522 sans dim
Facteur
Relation donnant
sans dim
Il pourra être recherché un terme fonction de l'enrichissement du cœur dans la formule donnant
Facteur
Terme
C 0,1081 sans dim
F 0,1007 sans dim
Section efficace microscopique
de fission thermique
de l'uranium 235
C 419,3 barn Fission nucléaire 1 barn = 10−24 cm2
à froid 582,6 barn [Référence 4]
Section efficace microscopique
de capture de l'uranium 235
à chaud 490,4 barn On entend par absorption le total fission + capture par l'uranium 235
F 681,4 barn Les sections efficaces varient comme l'inverse de la racine carrée de la température absolue du corps considéré
Section efficace microscopique
de capture d'un neutron thermique
par le zirconium
à chaud 0,1324 barn HBCP [Référence 5]
à froid 0,1840 barn HBCP La température à laquelle sont données les sections efficaces est dans la littérature technique est de 20 °C
Section efficace microscopique
de capture d'un neutron thermique
par l'hydrogène
à chaud 0,2393 barn HBCP La section efficace est la section pondérée protium/deutérium. Cette valeur a un grand impact sur le résultat de la modélisation
à froid 0,3326 barn HBCP
Section efficace microscopique
de capture d'un neutron thermique
par l'uranium 238
à chaud 1,933 barn
à froid 2,685 barn
Section efficace microscopique
de capture d'un neutron thermique
par l'oxygène
0,2 × 10−3 barn
cm2
Valeur "forfaitaire" sans grande importance sur le résultat[Note 22]

Notes

  1. Les réseaux combustibles des réacteurs à eau sous-pression électrogènes sont similaires du point de vue de leurs caractéristiques neutroniques
  2. Il est également possible de définir la concentration relative en hydrogène par rapport à la matière fissile par le rapport , cependant les deux grandeurs et ne sont pas indépendantes avec . Une augmentation de l'enrichissement se traduit, toutes choses égales, par une diminution du rapport . Ceci conduit à préférer le paramètre pour paramétrer la modération du cœur
  3. Les valeurs à plus de 3 chiffres significatifs sont données, simplement pour éviter un cumul d'erreurs "d'arrondis" sans que ceci veuille dire que le résultat soit précis à mieux que +/- 3 %
  4. Les définitions des facteurs et souffrent d'une ambiguïté liée à la définition de ce que l'on entend par « combustible ». Le « combustible » peut comprendre l'ensemble des atomes lourds fissiles et non fissiles ou les seuls atomes fissiles. L'approche consistant à limiter le « combustible » aux seuls atomes fissiles :
    • est cohérente avec la définition du facteur donnée dans le tableau
    • conduit à des relations un peu plus simples que l'autre
    • élimine l’ambiguïté relative aux atomes de forme chimique et structure du combustible (l'oxygène et le zirconium)
    • a l'avantage de faire que est indépendant de la géométrie du cœur et ne dépend que des caractéristiques physiques des corps fissiles.
    • rend la formulation du facteur un peu plus simple
    L'approche « atomes lourds » :
    • est plus cohérente avec le fait que des atomes lourds non fissiles en neutrons thermiques le sont en neutrons rapides.
    • est également plus homogène avec le fait que des atomes lourds non fissiles le deviennent (et réciproquement) par capture neutronique dans le cours de l'évolution du cœur.
    • a été semble-t-il historiquement plus utilisée que celle ci-dessus dans les ouvrages de neutronique ; on peut raisonnablement penser que c'est celle qui était en usage en 1942 à Chicago, compte tenu de la nature de la pile au graphite.
    Dans tous les cas, le produit est conservé, en revanche le facteur dépend de la valeur de ; même si les écarts restent faibles, il ne s'agit donc pas uniquement d'une question formelle de présentation. Pour analyser un résultat d'étude il est nécessaire de savoir laquelle des deux visions a été mise en œuvre. Dans le présent article on retient l'approche atomes lourds, donc : « combustible » = « oxyde d'uranium » pour un cœur neuf. L'oxygène, lié chimiquement aux atomes lourds fait nécessairement partie du combustible. En outre le combustible est généralement gainé, il convient de préciser si le gainage est considéré comme faisant partie du combustible ou des matériaux de structure. Dans le présent article le gainage est considéré comme matériau de structure
  5. Dans le cœur d'un REP il n'y a en fait de structures quasiment que le zirconium des gaines et les tubes guides des assemblages de combustible
  6. L'oxyde se dilate beaucoup plus que le zirconium ce qui fait que le nombre d'atomes de zirconium présents dans le flux rapporté au nombre d'atomes d'uranium varie avec la température
  7. Du fait de la légère variation de et en fonction de l'optimum de modération est trouvé pour une valeur de légèrement inférieure (5 % environ)à la valeur du maximum du produit donné par cette formule
  8. La manutention sure des éléments en piscine est telle que si le pas entre éléments est augmenté en vue des manutentions le diminue, donc le réseau est proche de l'optimum de modération ; ceci est corroboré par le fait qu'à froid le coefficient de température du REP 900 sans acide borique est pratiquement nul
  9. Cette façon de faire fait porter sur la capture dans l'U8 l'intégrale de l'effet de reprise froid chaud ce qui est bien sûr contestable mais préserve la constance de ε et de p dans la variation de température ce qui semble plus acceptable qu'une autre hypothèse
  10. Il a cependant été établi que les réacteurs d'Oklo ont fonctionné en température jusqu'à une valeur assez élevée, pour autant les conditions minimales de divergence ont forcément été réunies à froid
  11. l'analyse du minerai conduit à constater que la gangue d'Oklo constituée majoritairement d'oxydes est assez faiblement capturante des neutrons
  12. Les teneurs mesurées et estimées à Oklo sont plus élevées
  13. Il existe cependant des réacteurs à cœur cylindrique à axe horizontal comme les réacteurs CANDU
  14. Il est également possible d'évaluer le volume extrapolé du cœur à partir de dimensions intermédiaires proches de l'ortho-cylindre et qui respectent bien sûr la relation
  15. En toute rigueur la valeur du flux thermique donnée dans l'article flux neutronique serait à augmenter de 7 % pour tenir compte de ce que le flux thermique est évalué dans cet article en tenant compte d'un flux rapide responsable de 7 % des fissions
  16. Dans la variation "froid/chaud" de la masse d'eau présente dans le cœur, outre l'aspect prépondérant de la dilatation de l'eau, le "jeu" pastille gaine présent à froid est annulé à chaud par la pression primaire qui plaque le zirconium sur l'oxyde
  17. Les masses molaires utilisées sont celles de la littérature scientifique, la mention faite dans le tableau défini la notation utilisée dans l'article
  18. Les valeurs des concentrations en atomes sont susceptibles de variations avec la température de fonctionnement qui modifie la géométrie du cœur : la hauteur combustible du fait de la dilatation de l'oxyde d'uranium et le diamètre du fait de la dilatation de l'acier inoxydable des structures de maintien) et la quantité d'eau présente dans le cœur ; bien que faibles ces variations affectent les résultats du calcul
  19. Un jeu existe à froid entre les pastilles d'UO2 et la gaine en zirconium, rattrapé à chaud par plaquage de la gaine en zirconium sur l'oxyde. Le rapport volumique de modération varie en conséquence
  20. La quantité de zirconium effectivement présente dans le cœur varie avec la température du fait de la dilatation différentielle de l'oxyde d'uranium et des différentes structures en zirconium (gaine et systèmes de maintien). Ce faible effet est imparfaitement rendu par la modélisation simplifiée qui fait l'hypothèse d'un rapport constant entre le nombre d'atomes d'uranium et le nombre d'atomes de zirconium
  21. Valeur légèrement inférieure à celle qu'on peut déduire de la dilatabilité de l'eau du fait de la variation du volume du cœur.
  22. L' oxygène est l'élément chimique le moins capturant ce qui a rendu possible et attractive la technologie des réacteurs à eau et oxyde d'uranium

Références

  1. Naudet R Le phénomène d'Oklo, AIEA, PDF, 3 pages
  2. [PDF] Reuss P (1996), Bases de neutronique : coefficients de réactivité dans les réacteurs nucléaires, INSTN/UERTI, Saclay, septembre 1996, 32 p.
  3. Formule des quatre facteurs

    Voir aussi

    Articles connexes

    Bibliographie

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