Produit tensoriel et représentations de groupes finis

Soient V et W deux espaces vectoriels sur un corps K. Le produit tensoriel de V et W, noté V⊗W, est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire canonique de V×W dans V⊗W, initial au sens suivant : toute application bilinéaire de V×W dans un espace vectoriel E se factorise de façon unique par une application linéaire de V⊗W dans E. Cet espace V⊗W (muni de son application bilinéaire canonique) est donc unique à isomorphisme près, comme solution de ce problème universel. Son existence est démontrée dans l'article détaillé.

Le cas particulier E=K fournit un isomorphisme entre l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur V×W et l'espace dual (V⊗W)*. Cet espace de formes bilinéaires étant par ailleurs identifiable à Hom(V,W*) ainsi qu'à Hom(W,V*), il est isomorphe à V*⊗W* dès que V ou W est de dimension finie.

En caractéristique différente de 2, les tenseurs symétriques et antisymétriques de V⊗V forment deux sous-espaces supplémentaires, notés Sym(V) et Alt(V).

Si (a_i) (resp. (b_j)) est une base de V (resp. W), alors les images canoniques dans V⊗W des couples (a_i,b_j), notées a_i⊗b_j, forment une base de V⊗W.

À tout endomorphisme φ de V et tout endomorphisme ψ de W est associé un endomorphisme de V⊗W noté φ⊗ψ et caractérisé par :

${\displaystyle (\varphi \otimes \psi )(u\otimes v)=\varphi (u)\otimes \psi (v).}$

Ce produit tensoriel est compatible avec la composition :

${\displaystyle (\varphi \circ \varphi ')\otimes (\psi \circ \psi ')=(\varphi \otimes \psi )\circ (\varphi '\otimes \psi '),}$

et φ⊗ψ est bijectif si et seulement si φ et ψ le sont.

Sym(V) et Alt(V) sont stables par φ⊗φ.

Si (α_i,k) (resp (β_j,l)) désigne la matrice de φ (resp. ψ) dans les bases précédentes (supposées finies), alors la matrice de φ⊗ψ dans la base (a_i⊗b_j) a pour coefficients ${\displaystyle \alpha _{i,k}\beta _{j,l}}$, c'est-à-dire que

${\displaystyle (\varphi \otimes \psi )(a_{k}\otimes b_{l})=\sum _{i,j}\alpha _{i,k}\beta _{j,l}~a_{i}\otimes b_{j}.}$

On en déduit que la trace de φ⊗ψ (somme des termes diagonaux de cette matrice) est égale au produit des traces de φ et ψ :

${\displaystyle \mathrm {Tr} (\varphi \otimes \psi )=\sum _{i,j}\alpha _{i,i}\beta _{j,j}=\mathrm {Tr} (\varphi )\mathrm {Tr} (\psi ).}$

Soient (V₁, ρ¹) une représentation d'un groupe G₁ et (V₂, ρ²) une représentation d'un groupe G₂. Leur produit tensoriel est la représentation (V₁⊗V₂, ρ¹⊗ρ²) du groupe produit G₁×G₂ définie par :

${\displaystyle (\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})_{(s,t)}=(\rho ^{1})_{s}\otimes (\rho ^{2})_{t}.}$

Soient (V₁, ρ¹) et (V₂, ρ²) deux représentations d'un groupe G. Leur produit tensoriel (V₁⊗V₂, ρ¹⊗ρ²) peut désigner (selon le contexte) ou bien la représentation de G×G définie dans la section précédente, ou bien la représentation de G déduite de celle-ci par composition avec le morphisme diagonal de G dans G×G :

${\displaystyle (\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})_{s}=(\rho ^{1})_{s}\otimes (\rho ^{2})_{s}.}$

Les carrés symétrique et alterné d'une représentation (V, ρ) de G sont les deux sous-représentations, sur Sym(V) et Alt(V), de la représentation ρ⊗ρ de G.

• Le caractère d'une représentation de G₁×G₂ de la forme ρ¹⊗ρ² est le produit tensoriel des caractères de ρ¹ et ρ².
• Le caractère d'une représentation de G de la forme ρ¹⊗ρ² est le produit des caractères de ρ¹ et ρ².

On suppose ici que la caractéristique de K ne divise pas l'ordre du groupe G₁×G₂, et que le polynôme X^e - 1, où e désigne l'exposant de ce groupe, est scindé sur K.

On s'intéresse particulièrement aux représentations irréductibles car elles forment une base de toutes les autres (cf théorème de Maschke).

• Toute représentation irréductible de G₁×G₂ est de la forme ρ¹⊗ρ², et une représentation de cette forme est irréductible si et seulement si ρ¹ et ρ² le sont.

(Ceci contraste avec la somme directe ρ¹⊕ρ², qui n'est jamais irréductible, car V₁ x {0} et {0} x V₂ sont toujours des sous-espaces invariants.)

Cette propriété résulte immédiatement de la structure des algèbres des groupes G₁ et G₂, en remarquant que leur produit tensoriel est isomorphe à l'algèbre du groupe produit. Dans le cas particulier où K est de caractéristique nulle, elle peut aussi se démontrer en étudiant les caractères irréductibles.

Vincent Beck, « TD Représentation des groupes finis », 2005-2006 du cours de M2 de Michel Broué (Université Paris VII - Diderot), et corrigé

• Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
• (en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions]
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. VIII