Processus d'Airy

Soit ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Le processus d'Airy₂ ${\displaystyle A_{2}(t)}$ est le processus stochastique avec la fonction de répartition suivante

${\displaystyle P(A_{2}(t_{1})<\xi _{1},\dots ,A_{2}(t_{n})<\xi _{n})=\det(1-f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2})_{L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}}$

avec

${\displaystyle f(t_{j},\xi ):=1_{\{\xi _{j}<\xi \}}(\xi )}$

et le noyau d'Airy étendu

${\displaystyle K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y):={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{si}}\;t_{i}\geq t_{j}\\[5pt]{\displaystyle -\int _{-\infty }^{0}{\rm {e}}^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{si}}\;t_{i}<t_{j}\end{cases}}}$