Matrice aléatoire

Une matrice de Wigner est une matrice aléatoire ${\displaystyle N\times N}$ symétrique dont les entrées sont des variables aléatoires centrées indépendantes et identiquement distribuées (iid). Par exemple, si ${\displaystyle (X_{i,j})_{i,j\in \{1,...,n\}}}$ est une famille de variables aléatoires iid suivant une Loi de Rademacher, la matrice symétrique ${\displaystyle M=(M_{i,j})_{i,j\in \{1,...,n\}}}$ définie par :

${\displaystyle M_{i,j}={\begin{cases}X_{i,i}{\text{ si }}i=j,\\X_{i,j}{\text{ si }}i<j\\X_{j,i}{\text{ si }}i>j\end{cases}}}$

est une matrice de Wigner.

Ce sont les ensembles introduits par Wigner pour la théorie des spectres nucléaires. On distingue trois ensembles :

• l'ensemble gaussien orthogonal pour les systèmes invariants par renversement du temps (GOE) ;
• l'ensemble gaussien unitaire pour les systèmes non-invariants par renversement du temps (en anglais, gaussian unitary ensemble ou GUE) ;
• et l'ensemble gaussien symplectique pour les systèmes avec spin (en anglais, gaussian symplectic ensemble ou GSE).

Dans le cas de l'ensemble GOE, on considère des matrices symétriques réelles ${\displaystyle N\times N}$ dont les éléments de matrices ${\displaystyle A_{ij}}$ obéissent à la distribution gaussienne :

${\displaystyle P(A_{ij})\prod _{i}dA_{ii}\prod _{i<j}dA_{ij}=\exp \left(-g\mathrm {Tr} ({}^{t}AA)\right)\prod _{i}dA_{ii}\prod _{i<j}dA_{ij}}$

La distribution est invariante par les transformations orthogonales. De même, dans l'ensemble unitaire, on considère des matrices hermitiennes, et la distribution est invariante par les transformations unitaires. Dans l'ensemble GSE, la distribution est invariante sous l'action des transformations symplectiques.

Wigner a déduit la distribution des valeurs propres de ces matrices dans la limite ${\displaystyle N\to \infty }$. C'est la loi du demi-cercle.

Il est possible de déduire la loi de distribution jointe des valeurs propres par un changement de base. Le résultat est que :

${\displaystyle P(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N})=C_{N}\exp(-g\sum _{i}\lambda _{i}^{2})\prod _{i<j}\mid \lambda _{i}-\lambda _{j}\mid ^{\beta }}$

où les ${\displaystyle \lambda _{i}}$ sont les valeurs propres de la matrice, et ${\displaystyle \beta =1}$ dans le cas GOE, ${\displaystyle \beta =2}$ dans le cas GUE, ${\displaystyle \beta =4}$ dans le cas GSE.

À partir de ces distributions, on peut obtenir la loi de distribution des écarts entre valeurs propres. On montre que si ${\displaystyle s}$ est la distance (normalisée par la densité d'états) entre deux valeurs propres, la probabilité que deux valeurs propres soient distantes de ${\displaystyle s}$ tend vers zéro si ${\displaystyle s}$ tend vers zéro. Si les valeurs propres étaient uniformément distribuées, cette probabilité serait donnée par la loi de Poisson et ne tendrait pas vers zéro pour ${\displaystyle s}$ tendant vers zéro. Cette propriété des ensembles gaussiens est appelée répulsion des niveaux.

Notés COE, CUE, CSE. Cette fois, les matrices sont respectivement orthogonales, unitaires ou symplectiques. Leurs valeurs propres sont des nombres complexes de module 1. Freeman Dyson a montré que l'étude de la distribution de ces valeurs propres se ramenait à l'étude de la mécanique statistique d'un gaz de particules sur un cercle avec une interaction logarithmique avec la distance.

• Hypothèse de Riemann
• Polynômes orthogonaux

• Nicolas Orantin, Du développement topologique des modèles de matrices à la théorie des cordes topologiques : combinatoire de surfaces par la géométrie algébrique (thèse de doctorat en physique théorique, Université Paris 6), 2007, 179 p. (HAL tel-00173162)
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• Matthew R. Watkins ; Random matrices and the Riemann zeta function, Exeter University.
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• P. J. Forrester Book on random matrices
• M. Debbah "Applications de la théorie des matrices aléatoires aux télécommuncations sans fils"
• Alice Guionnet, Large deviations and stochastic calculus for large random matrices, Probability Surveys 1 : 72-172 (2004)
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