Problème des quatre quatre

Le jeu est mentionné pour la première fois dans l'ouvrage Knowledge: An Illustrated Magazine of Science édité en 1881 par Richard A. Proctor, un astronome anglais réputé pour avoir dressé une des premières cartes de la planète Mars[1].

Dans son livre Mathematical Recreations and Essays, W. W. Rouse Ball en donne en 1892 une description précise et le présente comme un « amusement mathématique, qui aurait été proposé pour la première fois en 1881 »[2].

Plusieurs variantes du jeu existent, selon les symboles mathématiques qu’on s’autorise, sachant que toutes acceptent bien sûr l’addition (« + »), la soustraction (« − »), la multiplication (« × »), la division (« ÷ ») et les parenthèses :

• avec quatre fois le nombre 4 et les quatre opérations élémentaires, il est possible d'obtenir tous les entiers naturels de 0 à 9, mais il n'est pas possible d'obtenir 10 ni 11 ;
• avec quatre chiffres quatre et concaténation possibles (possibilité d'écrire des nombres formés de chiffres 4 comme « 44 ») le nombre de solutions augmente ;
• avec le recours aux factorielles (« n! »), à la racine carrée (« √ »), aux puissances (comme dans 44⁴), on peut aller jusqu'à 74 (= 4! + 4! + 4! + √4) ;
• avec la virgule en tête de nombre (,4 = 0,4 = 4/10) et la fonction gamma (Γ(), où Γ(n) = (n − 1)!, ainsi Γ(4) = 6), on peut aller bien au-delà.

On accepte parfois la fonction inverse (« 1/n »), la sous-factorielle (notée !n = n!·(1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - ... ±1/n!), la sommation (exemple : ${\displaystyle \sum _{i=-{\sqrt {4}}}^{4!}{\frac {4i}{4}}=297}$), voire des opérations originales telles que le produit des nombres inférieurs de même parité ("n!!", par exemple 9!! = 9x7x5x3x1) ou la somme des nombres inférieurs ("n?", par exemple 4? = 4+3+2+1). La répétition à l'infini de la décimale 4 peut être acceptée ou non : ",${\displaystyle {\overline {4}}}$" (pour 0,4444… = 4/9).

En revanche l’opérateur logarithme n’est pas autorisé, car on peut systématiquement exprimer n'importe quel entier par la formule suivante[3] :

${\displaystyle n=-{\sqrt {4}}{\frac {\ln \left[\left(\ln \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}\right)/\ln 4\right]}{\ln {4}}}}$

Voici des exemples de solutions pour les 23 premiers entiers naturels, en utilisant des règles classiques. Pour chacun, il existe de nombreuses solutions correctes. Les expressions en bleu s'obligent à ne faire appel qu’à quatre entiers 4 (plutôt que quatre chiffres 4) et aux opérations arithmétiques élémentaires. Celles en italique recourent plusieurs fois au même opérateur.

 0  =  4 ÷ 4 – 4 ÷ 4  =   44 − 44
 1  =  4 ÷ 4 + 4 − 4  =   44 ÷ 44
 2  =  4 −(4 + 4)÷ 4  =  (44 + 4) ÷ 4!
 3  = (4 × 4 − 4)÷ 4  = (4 + 4 + 4) ÷ 4
 4  =  4 + 4 ×(4 − 4) =  −44 + 4! + 4!
 5  = (4 × 4 + 4)÷ 4  =  (44 − 4!) ÷ 4
 6  = (4 + 4)÷ 4 + 4  =   4,4 + 4  ×,4
 7  =  4 + 4 − 4 ÷ 4  =   44 ÷ 4  − 4
 8  =  4 ÷ 4 × 4 + 4  =   4,4 − ,4  + 4
 9  =  4 ÷ 4 + 4 + 4  =   44 ÷ 4  − √4
10  =  4 ÷√4 + 4 ×√4  =  (44 − 4) ÷ 4
11  = (4!×√4 - 4)÷ 4  =  44 / (√4 + √4)
12  =  4 ×(4 − 4 ÷ 4) =  (44 + 4) ÷ 4
13  = (4!×√4 + 4)÷ 4  =  (4 − ,4) ÷ ,4 + 4  =  44 ÷ 4 + √4
14  =  4 × 4 - 4 ÷√4  =   4 × (√4 + √4) - √4
15  =  4 × 4 − 4 ÷ 4  =   44 ÷ 4  + 4
16  =  4 × 4 + 4 − 4  =  (44 − 4) ×,4
17  =  4 × 4 + 4 ÷ 4  =  (44 + 4!)÷ 4
18  =  4 × 4 + 4 −√4  =  (44 ÷ √4) − 4
19  =  4!−(4 + 4 ÷ 4) =  (4 + 4 − ,4) ÷ ,4
20  =  4 ×(4 + 4 ÷ 4) =  (44 − 4) ÷ √4
21  =  4!− 4 + 4 ÷ 4  =  (44 − √4) ÷ √4
22  =  4!÷ 4 + 4 × 4  =   44 ÷ (4 − √4)
23  =  4!+ 4 ÷ 4 −√4  =  (44 + √4) ÷ √4
24  =  4 × 4 + 4 + 4  =  (44 + 4) ÷ √4
25  =  4!− 4 ÷ 4 +√4  =  (4 + 4 + √4) ÷ ,4
26  =  4!+ √4 + 4 - 4
27  =  4!+ √4 + (4 ÷ 4)
28  =  (4 + 4)×4 − 4  =  4!+ 4 + 4 - 4
29  =  4!+ 4 + (4 ÷ 4)
30  =  4!+ 4 + 4 - √4
31  =  4!+ (4! + 4) ÷ 4
32  =  4 x 4 + 4 x 4

Il est particulièrement difficile de résoudre certains nombres. Ainsi, pour 113, David A. Wheeler a suggéré[4] :

${\displaystyle \Gamma (\Gamma (4))-{\frac {4!+4}{4}}}$

Autre exemple d'utilisation de la fonction gamma : 157 = ((Γ(4)!+4) ÷ 4) - 4!.

Accepter d’utiliser le pourcentage ("%") dans les formules — notamment au dénominateur — permet d’accéder à un ensemble bien plus vaste de nombres. Par exemple : 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%.

Le problème et ses généralisations (cinq 5, six 6, etc.) peuvent être résolus par un algorithme simple, qui fait appel à des tables reliant entiers naturels et expressions à base du chiffre choisi. Une telle table existe pour chaque nombre n d’occurrences de d. Par exemple, si d=4, la table pour deux occurrences de d contiendra notamment la paire (8 ; 4+4) ; celle pour trois occurrences de d contiendra la paire (2 ; (4+4)/4), etc. Les tables pour n=1 et n=2 contiennent les formules élémentaires, qui ne sont pas la combinaison de formules plus petites. Ainsi, pour n=1 :

       T[4]    := 4
       T[2]    := √4
       T[4/10] := .4
       T[4/9]  := .4...
       etc.

et pour n=2 :

       T[44] := 44
       etc.

La tâche consiste alors à se référer par récurrence à ces tables, en partant de n=1 jusqu’à dans notre exemple n=4. Pour un n donné, on construit la table en recensant les combinaisons pertinentes de formules plus petites.