Sommation symbolique

On distingue deux grandes catégories de problèmes de sommation symbolique : la sommation définie et la sommation indéfinie. La sommation indéfinie est l'analogue discret du calcul de primitives. Il s'agit de calculer en fonction d'un paramètre ${\displaystyle n}$ des sommes comme

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}$

où le domaine de sommation dépend de ${\displaystyle n}$. La sommation définie correspond quant à elle au calcul d'intégrales (définies). Elle consiste à calculer la somme d'une expression (qui peut dépendre d'un ou plusieurs paramètres) sur un ensemble d'indices fixé, fini ou infini, comme dans

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$.

Une somme comme ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}}$ est aussi considérée comme une somme définie, dans la mesure où elle peut se réécrire

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}=2^{n}}$.

Parmi les algorithmes classiques de sommation symbolique, on peut citer l'algorithme de Gosper (en) et l'algorithme de Wilf-Zeilberger, dédiés respectivement aux sommes hypergéométriques indéfinies et définies.

• Marko Petkovšek, Herbert Wilf et Doron Zeilberger, A=B, A K Peters/CRC Press, 1996, 224 p. (ISBN 978-1568810638, lire en ligne)