Principe de contraction

On appelle fonction de taux une fonction ${\displaystyle I:{\mathcal {X}}\to [0,\infty ]}$ semi-continue inférieurement (i.e. ${\displaystyle \forall l>0}$, l'ensemble ${\displaystyle I_{\leq l}:=\{x:I(X)\leq l\}}$ est un fermé de ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$). Une telle fonction est qualifiée de bonne si les ensembles de niveaux ${\displaystyle I_{\leq l}}$ sont compacts dans ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$.

On dit qu'une famille de mesures de probabilité ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}$ définie sur un espace probabilisable ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {T}})}$ vérifie le principe des grandes déviations (LDP) avec pour fonction taux ${\displaystyle I}$ si pour tout ${\displaystyle \Gamma \in {\mathcal {T}}}$,

${\displaystyle {\begin{array}{l}\liminf _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log(\mu _{\varepsilon }(\Gamma ))&\geq -\inf _{x\in \mathrm {Int} (\Gamma )}I(x)\\\limsup _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log(\mu _{\varepsilon }(\Gamma ))&\leq -\inf _{x\in \mathrm {Adh} (\Gamma )}I(x),\end{array}}}$

où ${\displaystyle \mathrm {Int} (\Gamma ),\mathrm {Adh} (\Gamma )}$ désignent respectivement l'intérieur et l'adhérence de ${\displaystyle \Gamma }$ dans ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$.

Soient ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ une application continue et ${\displaystyle I:{\mathcal {X}}\to [0,\infty ]}$ une bonne fonction de taux. Alors d'une part, la fonction ${\displaystyle I'\colon {\mathcal {Y}}\to [0,\infty ]}$ définie par

${\displaystyle \forall y\in {\mathcal {Y}},\quad I'(y):=\left\lbrace {\begin{array}{ll}\inf _{x\in {\mathcal {X}},y=f(x)}I(x)&{\textrm {si}}f^{-1}(y)\neq \emptyset \\+\infty &{\textrm {sinon}}\end{array}}\right.}$

est une bonne fonction de taux sur ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$. D'autre part, si ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}$ est une famille de probabilité sur ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ vérifiant le principe des grandes déviations avec ${\displaystyle I}$ alors la famille de mesures ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon }\circ f^{-1})}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ vérifie également le principe des grandes déviations avec ${\displaystyle I'}$.

Soient ${\displaystyle g:{\mathcal {Y}}\to {\mathcal {X}}}$ une application continue, ${\displaystyle I:{\mathcal {X}}\to [0,\infty ]}$ une bonne fonction de taux et ${\displaystyle (\nu _{\varepsilon })}$ est une famille de mesures de probabilité exponentiellement tendue, c'est-à-dire que pour tout ${\displaystyle \alpha >0}$, il existe un compact ${\displaystyle K_{\alpha }}$ de ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ tel que ${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log(\mu _{\varepsilon }(K_{\alpha }^{C}))<-\alpha }$. Si ${\displaystyle (\nu _{\varepsilon }\circ g^{-1})}$ vérifie le principe des grandes déviations avec ${\displaystyle I}$ alors la famille de mesures ${\displaystyle (\nu _{\varepsilon })}$ vérifie également le principe des grandes déviations avec ${\displaystyle I':=I\circ g}$.