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Principe d'explosion

Le principe d'explosion, énoncé en latin ex falso quodlibet ou encore ex contradictione sequitur quodlibet, « d'une contradiction, on peut déduire ce qu'on veut » ou le principe de Pseudo-Scotus, est une loi de logique classique, de logique intuitionniste et d'autres logiques, selon laquelle n'importe quel énoncé peut être déduit à partir d'une contradiction[1]. Certaines autres logiques comme les logiques non-monotones, qui tentent de gérer des cas particuliers, la logique minimale ou les logiques paracohérentes ne possèdent pas de principes d'explosion et tentent de gérer les contradictions différemment.

Illustration du principe

Dans le cadre d'un raisonnement formel, nous allons déduire à partir d'affirmations quelconques mais contradictoires n'importe quelle autre affirmation. Ces affirmations peuvent être, dans des conditions données, soit vraies, soit fausses. Certaines règles de déduction couramment admises permettent en logique de déduire d'autres affirmations à partir d'affirmations antérieurement admises. On dit que les règles sont valides si on est sûr que l'application de ces règles à partir d'affirmations vraies donne également des affirmations vraies.

Une illustration et justification informelle du principe peut s'énoncer comme suit.

Prenons deux affirmations contradictoires, qui nous serviront de point de départ :

  • Tous les citrons sont jaunes et
  • certains citrons ne sont pas jaunes.

À partir de ces deux affirmations, supposées toutes deux vraies, nous allons montrer que Le Père Noël existe, de la manière suivante :

  1. Nous savons que tous les citrons sont jaunes, par hypothèse.
  2. Nous déduisons (2) Tous les citrons sont jaunes ou le père Noël existe. Sa première partie étant vraie, nous n'avons pas besoin de vérifier la seconde partie car il suffit qu'au moins l'une des deux parties soit vraie pour que la phrase le soit. Pour que "A ou B" soit vrai, il suffit que A soit vrai ou que B soit vrai.
  3. Cependant, si certains citrons ne sont pas jaunes, ce qui est aussi vrai par hypothèse, cela invalide la première partie de la déduction (2).
    Nous l'avons déduite à partir d'une règle de déduction valide, elle est donc montrée vraie dans notre raisonnement. Sa première alternative étant contradictoire avec notre hypothèse, la seconde alternative, le père Noël existe, doit donc nécessairement être vraie pour que l'affirmation soit vérifiée.

Nous avons donc démontré que le père Noël existe, et nous pourrions démontrer n'importe quelle affirmation de manière similaire, y compris le père Noël n'existe pas, simplement en supposant initialement deux propositions contradictoires. D'où la règle en question : du faux on peut déduire n'importe quoi.

Représentation symbolique

Le principe d'explosion, de manière un peu plus formelle, peut s'énoncer ("" représente la relation de déduction logique) :

(1) :

ou

(2) : .

(1) se lit "si on énonce qu'une affirmation est vraie () et que sa négation () l'est aussi, on peut dériver n'importe quelle conclusion ()."
(2) se lit "si on a une contradiction () alors on peut en déduire n'importe quelle propriété."

Discussion sur ce principe

Un argument informel et descriptif est donné en introduction. Dans des termes plus formels, il y a deux sortes d'arguments en faveur du principe d'explosion, l'une sémantique, l'autre en théorie de la démonstration.

En sémantique

L'argument sémantique est tiré de la théorie des modèles. En théorie des modèles, on dit qu'une structure d'interprétation est modèle d'une théorie si la théorie est vraie dans l'ensemble de base de cette structure. Une proposition est dans ce cadre une conséquence sémantique d'un ensemble d'autres propositions seulement si chacun des modèles de est modèle de . Pour parler du principe d'explosion, on remarquera qu'il n'existe pas de modèle, c'est-à-dire de structure, de l'ensemble contradictoire . A fortiori, il n'existe pas de modèle de qui soit modèle de . Par conséquent, non rigoureusement, chaque modèle de est un modèle de . est donc une conséquence sémantique de .

En théorie de la démonstration

En théorie de la démonstration, le principe peut s'illustrer par la démonstration suivante où le nom des règles utilisées sont données dans déduction naturelle et style de Fitch pour la déduction naturelle :

Prenons d'abord la version symbolique de l'argument de l'introduction

(1)
hypothèse
(2)
à partir de (1) par la règle d'élimination de la conjonction
(3)
de (1) par l'élimination de la conjonction
(4)
de (2) par la règle d'introduction de la disjonction
(5)
de (3) et (4) par la règle de résolution
(6)
de (5) par introduction de l'implication (éliminant l'hypothèse (1) )

est dans notre introduction illustrée par "tous les citrons sont jaunes" et est "le Père Noël existe". De la contradiction "tous les citrons sont jaunes et certains citrons ne sont pas jaunes" (1), on déduit d'abord "tous les citrons sont jaunes" (2) puis "certains citrons ne sont pas jaunes" (3) ; de "tous les citrons sont jaunes" (2), nous déduisons "tous les citrons sont jaunes ou le Père Noël existe" (4) ; enfin par "certains citrons ne sont pas jaunes" (3) et de la conséquence précédente (4), nous déduisons "le Père Noël existe" (5). Enfin nous déduisons en (6) que si tous les citrons sont jaunes et si certains ne sont pas jaunes, alors le Père Noël existe.

D'autres démonstrations sont possibles

  1. : par hypothèse
  2. : de (1) par élimination de la conjonction
  3. : de (1) par élimination de la conjonction
  4. : autre hypothèse
  5. : réitération de (2)
  6. : de (4) et (5) par le théorème de la déduction (en)
  7. : de (6) par contraposition
  8. : de (3) et (7) par modus ponens
  9. : de (8) par l'élimination de la double négation (en)
  10. : de (1) et (9) par le théorème de la déduction

Ou encore :

  1. hypothèse
  2. hypothèse
  3. de (1) par élimination de la conjonction
  4. de (1) par élimination de la conjonction
  5. de (3) et (4) par reductio ad absurdum (consommant l'hypothèse 2)
  6. de (5) par élimination de la double négation
  7. de (6) par introduction de l'implication (en consommant (1))

Résoudre les problèmes posés par le principe d'explosion

Les logiques paracohérentes ont été créées pour permettre certaines formes de négations faibles. Les logiciens envisageant la logique sous l'angle de la sémantique formelle pensent, pour la majorité d'entre eux, qu'il existe des modèles pour l'ensemble de formule contradictoire et discutent de sémantiques permettant leur existence. D'une autre manière ils peuvent aussi rejeter l'idée que les propositions puissent être classées entre propositions vraies et propositions fausses. La sémantique des preuves en logique paracohérente nie typiquement la validité du principe, en empêchant l'une des étapes nécessaires à son obtention, typiquement le syllogisme disjonctif, l'introduction de la disjonction ou encore la démonstration par l'absurde.

Dans le cas du Web sémantique, à l’intérieur duquel il est presque impossible qu'il n’existe pas différentes sources contradictoires d'informations tant les fournisseurs sont nombreux et pas forcément d'accord entre eux, il a été proposé des logiques dans lesquelles coexistent deux types de négations, et dans lesquelles la non-contradiction n’est requise qu'explicitement[2].

Applications

L'importance métamathématique du principe d'explosion est telle que, dans n'importe quelle logique dans laquelle il est vérifié, une démonstration de (soit le faux, ou une forme équivalente, comme ) ferait de toutes ses formules des théorèmes, rendant le système inutile. Le principe d'explosion est une des raisons de l'existence du principe de non-contradiction en logique classique, ne pas l'incorporer rendrait insensée toute affirmation vraie.

Articles connexes

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Explosion principle » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Carnielli, W. and Marcos, J., « "Ex contradictione non sequitur quodlibet" », Proc. 2nd Conf. on Reasoning and Logic, Bucharest, (lire en ligne)
  2. (en) Anastasia Analyti, Grigoris Antoniou, Carlos Viegas Dam ́asio, Gerd Wagner, « Negation and Negative Information in the W3C Resource Description Framework », Annals of Mathematics, Computing & Teleinformatics (AMCT), (lire en ligne)
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