Portée (balistique)

La position du projectile est caractérisée par deux équations de mouvement, selon les axes horizontaux et verticaux.

La position horizontale du projectile, x(t), est :

${\displaystyle x(t)={\frac {}{}}v\cos \left(\theta \right)t}$

Dans la direction verticale, où s'applique la force de pesanteur, elle vaut :

${\displaystyle y(t)={\frac {}{}}v\sin \left(\theta \right)t-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Le point de chute et d'arrêt de la trajectoire correspond au retour du projectile à la position verticale initiale — ici, 0 :

${\displaystyle 0={\frac {}{}}v\sin \left(\theta \right)t-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Par résolution d'une équation du second degré (ou, plus simplement, en factorisant par t), deux solutions existent :

${\displaystyle {\frac {}{}}t=0}$

ou bien

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}}$

La première solution correspond à la position initiale. C'est donc la seconde solution qui permet de déterminer la portée. En introduisant t dans l'équation modélisant la position horizontale, il vient que :

${\displaystyle x={\frac {2v^{2}\cos \left(\theta \right)\sin \left(\theta \right)}{g}}}$

Par application de l'identité trigonométrique :

${\displaystyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\ }$

on peut simplifier la solution en :

${\displaystyle d={\frac {v^{2}}{g}}\sin 2\theta }$

À noter que pour un angle de projection θ égal à 45°, la solution devient :

${\displaystyle d={\frac {v^{2}}{g}}}$

On parle alors de « portée maximale » : c'est la raison pour laquelle les lanceurs de javelots, par exemple, s'entraînent à former ce demi-angle droit pour maximiser la distance parcourue.

• Si y₀ peut être non nul, les équations de mouvement deviennent :

${\displaystyle x(t)={\frac {}{}}v\cos \left(\theta \right)t}$

et

${\displaystyle y(t)=y_{0}+{\frac {}{}}v\sin \left(\theta \right)t-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

En résolvant encore une fois pour t avec la position y égale à 0, il vient :

${\displaystyle 0=y_{0}+{\frac {}{}}v\sin \left(\theta \right)t-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

La résolution de l'équation du second degré donne toujours deux solutions en temps. Après plusieurs manipulations algébriques :

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}\pm {\frac {\sqrt {\left(v\sin \theta \right)^{2}+2gy_{0}}}{g}}}$

La racine carrée doit être positive, et puisque la vélocité et le cosinus de l'angle de projection sont supposés l'être également, la solution avec le plus grand temps sera celle correspondant au plus affectant le dernier membre de droite. De ce fait, la solution générale est de la forme :

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}+{\frac {\sqrt {\left(v\sin \theta \right)^{2}+2gy_{0}}}{g}}}$

La portée est donc :

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left[v\sin \theta +{\sqrt {\left(v\sin \theta \right)^{2}+2gy_{0}}}\right]}$