Points de Padua

Points de Padua de la première famille et de degré 5, tracés avec leur courbe génératrice.

Points de Padua de la première famille et de degré 6, tracés avec leur courbe génératrice.

On peut voir les points de Padua comme un « échantillonnage » d'une courbe paramétrique, dite courbe génératrice, qui est légèrement différente pour chacune des quatre familles, de sorte que les points d'interpolation de degré ${\displaystyle n}$ et la famille ${\displaystyle s}$ peut être défini comme

${\displaystyle {\text{Pad}}_{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace =\left\lbrace \gamma _{s}\left({\frac {k\pi }{n(n+1)}}\right),k=0,\ldots ,n(n+1)\right\rbrace .}$

En fait, les points de Padua se situent exactement sur les auto-intersections de la courbe, et sur les intersections de la courbe avec les limites du carré ${\textstyle [-1;1]^{2}}$ . La cardinalité de l'ensemble ${\textstyle {\text{Pad}}_{n}^{s}}$ est ${\textstyle |{\text{Pad}}_{n}^{s}|=N={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$ . De plus, pour chaque famille de points de Padoue, deux points se trouvent sur des sommets consécutifs du carré ${\displaystyle [-1;1]^{2}}$, il y a 2n-1 points se trouvent sur les bords du carré, et les points restants se trouvent sur les auto-intersections de la courbe génératrice à l'intérieur du carré[3] - [4].

Les quatre courbes génératrices sont des courbes paramétriques fermées dans l'intervalle ${\displaystyle [0;2\pi ]}$, et sont un cas particulier des courbes de Lissajous .

La représentation explicite de leur polynôme de Lagrange fondamental est basée sur le noyau reproducteur ${\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$, ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2})}$ et ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2})}$, de l'espace ${\displaystyle \Pi _{n}^{2}([-1;1]^{2})}$ équipé du produit scalaire

${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{[-1,1]^{2}}{\frac {f(x_{1},x_{2})}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}}{\frac {g(x_{1},x_{2})}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}}\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}}$

défini par

${\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{k}{\widehat {T}}_{j}(x_{1}){\widehat {T}}_{k-j}(x_{2}){\widehat {T}}_{j}(y_{1}){\widehat {T}}_{k-j}(y_{2})}$

avec ${\displaystyle {\widehat {T}}_{j}}$ représentant le polynôme de Chebyshev normalisé de degré ${\displaystyle j}$ (soit, ${\displaystyle {\widehat {T}}_{0}=T_{0}}$, ${\displaystyle {\widehat {T}}_{p}={\sqrt {2}}\,T_{p}}$ où ${\displaystyle T_{p}(\cdot )=\cos(p\arccos(\cdot ))}$ est le polynôme classique de Chebyshev de première espèce de degré ${\displaystyle p}$ ). Pour les quatre familles de pointes de Padoue, que l'on peut désigner par ${\displaystyle {\text{Pad}}_{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace }$, ${\displaystyle s=\lbrace 1,2,3,4\rbrace }$, la formule d'interpolation d'ordre ${\displaystyle n}$ de la fonction ${\displaystyle f\colon [-1;1]^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ sur le point cible générique ${\displaystyle \mathbf {x} \in [-1;1]^{2}}$ est alors

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}^{s}f(\mathbf {x} )=\sum _{\mathbf {\xi } \in {\text{Pad}}_{n}^{s}}f(\mathbf {\xi } )L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}$

où ${\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}$ est le polynôme de Lagrange fondamental

${\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )=w_{\mathbf {\xi } }(K_{n}(\mathbf {\xi } ,\mathbf {x} )-T_{n}(\xi _{i})T_{n}(x_{i})),\quad s=1,2,3,4,\quad i=2-(s\mod 2).}$

Les poids ${\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }}$ sont définis comme

${\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }={\frac {1}{n(n+1)}}\cdot {\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\text{ si }}\mathbf {\xi } {\text{ est un sommet}}\\1{\text{ si }}\mathbf {\xi } {\text{ est sur un côté}}\\2{\text{ si }}\mathbf {\xi } {\text{ est intérieur.}}\end{cases}}}$

• Liste des publications relatives aux points de Padoue et quelques logiciels d'interpolation .