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Points de Padua

Dans l'interpolation polynomiale de deux variables, les points de Padua sont le premier exemple connu (et jusqu'à présent le seul) d'un ensemble de points unisolvant (c'est-à-dire que le polynôme d'interpolation est unique) avec une croissance minimale de leur constante de Lebesgue, avéré être de l'ordre [1]. Leur nom vient de l'Université de Padoue, où ils ont été découverts à l'origine[2].

Les points sont définis dans le domaine . Il est possible d'utiliser les points avec quatre orientations, obtenus avec des rotations successives de 90 degrés : on obtient ainsi quatre familles différentes de points de Padua.

Les quatre familles

Points de Padua de la première famille et de degré 5, tracés avec leur courbe génératrice.
Points de Padua de la première famille et de degré 6, tracés avec leur courbe génératrice.

On peut voir les points de Padua comme un « échantillonnage » d'une courbe paramétrique, dite courbe génératrice, qui est légèrement différente pour chacune des quatre familles, de sorte que les points d'interpolation de degré et la famille peut être défini comme

En fait, les points de Padua se situent exactement sur les auto-intersections de la courbe, et sur les intersections de la courbe avec les limites du carré . La cardinalité de l'ensemble est . De plus, pour chaque famille de points de Padoue, deux points se trouvent sur des sommets consécutifs du carré , il y a 2n-1 points se trouvent sur les bords du carré, et les points restants se trouvent sur les auto-intersections de la courbe génératrice à l'intérieur du carré[3] - [4].

Les quatre courbes génératrices sont des courbes paramétriques fermées dans l'intervalle , et sont un cas particulier des courbes de Lissajous .

La première famille

La courbe génératrice des points de Padua de la première famille est

Si on l'échantillonne comme écrit ci-dessus, on a :

lorsque est pair ou impair mais est pair, si et sont tous les deux impairs

avec

Il s'ensuit que les points de Padua de la première famille auront deux sommets en bas si est pair, ou à gauche si est impair.

La deuxième famille

La courbe génératrice des points de Padua de la deuxième famille est

ce qui conduit à avoir des sommets à gauche si est pair et en bas si est impair.

La troisième famille

La courbe génératrice des points de Padua de la troisième famille est

ce qui conduit à avoir des sommets sur le dessus si est pair et à droite si est impair.

La quatrième famille

La courbe génératrice des points de Padua de la quatrième famille est

ce qui conduit à avoir des sommets à droite si est pair et supérieur si est impair.

Formule d'interpolation

La représentation explicite de leur polynôme de Lagrange fondamental est basée sur le noyau reproducteur , et , de l'espace équipé du produit scalaire

défini par

avec représentant le polynôme de Chebyshev normalisé de degré (soit, , est le polynôme classique de Chebyshev de première espèce de degré ). Pour les quatre familles de pointes de Padoue, que l'on peut désigner par , , la formule d'interpolation d'ordre de la fonction sur le point cible générique est alors

est le polynôme de Lagrange fondamental

Les poids sont définis comme

Références

  1. (en) Marco Caliari, Len Bos, Stefano de Marchi, Marco Vianello et Yuan Xu, « Bivariate Lagrange interpolation at the Padua points: the generating curve approach », J. Approx. Theory, vol. 143, no 1, , p. 15–25 (DOI 10.1016/j.jat.2006.03.008, arXiv math/0604604)
  2. (en) Stefano de Marchi, Marco Caliari et Marco Vianello, « Bivariate polynomial interpolation at new nodal sets », Appl. Math. Comput., vol. 165, no 2, , p. 261–274 (DOI 10.1016/j.amc.2004.07.001)
  3. (en) Marco Caliari, Stefano de Marchi et Marco Vianello, « Algorithm 886: Padua2D—Lagrange Interpolation at Padua Points on Bivariate Domains », ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 35, no 3, , p. 1–11 (DOI 10.1145/1391989.1391994)
  4. (en) Len Bos, Stefano de Marchi, Marco Vianello et Yuan Xu, « Bivariate Lagrange interpolation at the Padua points: the ideal theory approach », Numerische Mathematik, vol. 108, no 1, , p. 43–57 (DOI 10.1007/s00211-007-0112-z, arXiv math/0604604)

Liens externes

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