Point singulier d'une courbe

On suppose que la courbe passe par l'origine et on pose ${\displaystyle y=mx.}$ Alors f peut être écrit sous la forme

$${\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\cdots .}$$

Si ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}}$ est non nul alors f = 0 a une solution de multiplicité 1 en x = 0 et l'origine est un point de contact simple avec la droite ${\displaystyle y=mx.}$ Si ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}=0}$ alors f = 0 a une solution de multiplicité 2 ou supérieure et la droite ${\displaystyle y=mx,}$ ou ${\displaystyle b_{0}x+b_{1}y=0,}$ est tangente à la courbe. Dans ce cas, si ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}}$ est non nul alors la courbe à un point de contact double avec ${\displaystyle y=mx.}$ Si le coefficient de x², ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2},}$ est nul mais le coefficient de x³ ne l'est pas et donc l'origine est un point d'inflexion de la courbe. Si les coefficients de x² et x³ sont tous les deux nuls alors l'origine est un point d'ondulation de la courbe. Cette analyse peut se déporter en tout point d'une courbe en translatant le repère pour placer l'origine au pont à étudier[1].

Trois limaçons illustrant les types de points doubles. Une fois revenus en coordonnées cartésiennes de ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-x)^{2}={\frac {9}{4}}(x^{2}+y^{2}),}$ la courbe gauche a un acnode à l'origine, qui est un point isolé du plan. La courbe centrale, la cardioïde, a un point de rebroussement à l'origine. La courbe droite a un crunode à l'origine et la courbe se croise elle-même pour former une boucle.

Si b₀ et b₁ sont tous deux nuls dans le développement ci-dessus, mais au moins un des c₀, c₁, c₂ est non nul alors l'origine est un point double de la courbe. En reprenant ${\displaystyle y=mx,}$ f peut être écrit

$${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .}$$

Les points doubles peut être classés selon les solutions de ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Si ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ a deux solutions réelles m, soit si ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,}$ alors l'origine est un crunode. La courbe dans ce cas se croise elle-même à l'origine et a deux tangentes distinctes correspondantes aux deus solutions de ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$ La courbe a alors un point-selle à l'origine dans ce cas.

Si ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ n'a aucune solution réelle pour m, soit si ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,}$ alors l'origine est un acnode. Dans le plan réel, l'origine est un point isolé sur la courbe ; cependant, en tant que courbe complexe l'origine n'est pas isolée et a deux tangentes imaginaires correspondantes aux deux racines complexes de ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$ La fonction f a un extremum local à l'origine dans ce cs.

Si ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ a une solution simple de multiplicité 2 pour m, soit si ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,}$ alors l'origine est un point de rebroussement. La courbe dans ce cas change de direction à l'origine, créant une crête. La courbe a une tangente simple à l'origine qui peut être comme deux tangentes qui coïncident.

Le terme de noeud est utilisée pour désigner un crunode ou un acnode, soit un point double qui n'est pas un point de rebroussement. Le nombre de noeuds et le nombre de points de rebroussement sont deux invariants dans la formule de Plücker.

Si une des solutions de ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ est aussi solution de ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,}$ alors la branche correspondante de la courbe a un point d'inflexion à l'origine. Dans ce cas, on parle de flecnode. Si les deux tangentes ont cette propriété, alors ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}}$ est un facteur de ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},}$ et l'origine est alors un biflecnode[2].

Une courbe avec un point triple à l'origine : x(t) = sin(2t) + cos(t), y(t) = sin(t) + cos(2t)

En général, si tous les termes de degré inférieur à k sont nuls, au moins un des termes de degré k est nul nul dans f, et la courbe a alors un point multiple d'ordre k. En ce point, la courbe aura, en général, k tangentes à l'origine, certaines pouvant être imaginaires[3]