Optimisation multiobjectif

Lorsqu'un ordre de priorité ou de préférences est connu sur les objectifs, le problème est résolu d'une scalarisation par somme pondéré ou en optimisant un à un les objectifs dans l'ordre donné. L'idée est alors d'améliorer l'objectif envisagé sans perdre en qualité sur les objectifs préalablement minimisés.

Soient ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ deux solutions distinctes, l'optimalité lexicographique est définie comme suit : si ${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$ on pose ${\displaystyle k^{*}=\min \left\{k\;|\;f_{k}(x)\neq f_{k}(y)\right\}}$ et ${\displaystyle f(x)\leqq _{lex}f(y)}$ si, et seulement si, ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ou ${\displaystyle f_{k^{*}}\left(x\right)<f_{k^{*}}\left(y\right)}$. Cette optimalité lexicographique dépend d'une permutation arbitraire des objectifs. Plusieurs solutions peuvent donc être optimales au sens lexicographique pour le même problème multiobjectifs.

S'il est impossible de connaître a priori un ordre préférence sur les objectifs, de nombreuses solutions deviennent incomparables entre elles. La première référence à traiter d'objectifs conflictuels est fréquemment attribuée à Vilfredo Pareto en 1896[1]. Il définit l'efficacité comme l'impossibilité d'améliorer un objectif de la solution sans dégrader l'intérêt d'un autre objectif. L'importance fondamentale de l'efficacité est basée sur ce constat qu'une solution ${\displaystyle x}$ s'avère inefficace s'il existe une solution qui lui est préférée. Un tel ${\displaystyle x}$ ne peut pas représenter une alternative valide pour un décideur[1].

Cette existence de relation d'ordre entre certaines solutions permet de définir une notion de dominance et résoudre un programme multiobjectif consistera à extraire l'ensemble des points dits non-dominés. Considérons un problème de minimisation : ${\displaystyle min(f1(x),...,fp(x))}$, pour ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle {\hat {x}}}$ deux solutions et ${\displaystyle f(x)}$ et ${\displaystyle f({\hat {x}})}$ les points qui leur correspondent on a :

• ${\displaystyle f({\hat {x}})}$ domine ${\displaystyle f(x)}$ strictement (aussi dit au sens fort) noté ${\displaystyle f({\hat {x}})<f(x)}$ si, et seulement si, ${\displaystyle f_{i}({\hat {x}})<f_{i}(x)}$ ${\displaystyle \forall i}$ ;
• ${\displaystyle f({\hat {x}})}$ domine faiblement ${\displaystyle f(x)}$ noté ${\displaystyle f({\hat {x}})\leqq f(x)}$ si, et seulement si, ${\displaystyle f_{i}({\hat {x}})\leq f_{i}(x)}$ ${\displaystyle \forall i}$ ;
• ${\displaystyle f({\hat {x}})}$ domine ${\displaystyle f(x)}$ noté ${\displaystyle f({\hat {x}})\leq f(x)}$ si, et seulement si, ${\displaystyle f({\hat {x}})\leqq f(x)}$ et ${\displaystyle f({\hat {x}})\neq f(x)}$.

On parle de dominance dans l'espace des objectifs mais cette notion est aussi étendue à la notion d'efficacité dans l'espace de décision:

• Si ${\displaystyle \not \exists x\in X:f(x)<f({\hat {x}})}$ on dit que ${\displaystyle {\hat {x}}}$ est faiblement efficace et ${\displaystyle {\hat {y}}}$ est faiblement non-dominée ${\displaystyle ({\hat {y}}=f({\hat {x}}))}$

• Si ${\displaystyle \not \exists x\in X:f(x)\leq f({\hat {x}})}$ on dit que ${\displaystyle {\hat {x}}}$ est efficace et ${\displaystyle {\hat {y}}}$ est non-dominée ${\displaystyle ({\hat {y}}=f({\hat {x}}))}$

Une solution est dite faiblement efficace si le point correspondant est faiblement non-dominé, c'est-à-dire s'il n'existe aucune autre solution qui la domine au sens fort. Elle est dite efficace si le point correspondant est non-dominé, (aucune autre solution ne la domine). L'ensemble ${\displaystyle Y_{N}}$ l'image des solutions efficaces par ${\displaystyle f}$ d'un problème forme dans l'espace objectif une frontière de Pareto. Notons que ${\displaystyle X_{E}}$ telle que ${\displaystyle f(X_{E})=Y_{N}}$ est un sous-ensemble de l'ensemble ${\displaystyle f(X_{wE})=Y_{wN}}$ des solutions faiblement efficaces. Les solutions optimales au sens lexicographiques sont des solutions efficaces.