Preference ranking organization method for enrichment evaluation

Tout d’abord, il faut déterminer la matrice des k critères selon les n différentes alternatives (ou actions) en attribuant un poids ( ${\displaystyle w_{i}}$) à chaque critère selon leur importance :

Soit ${\displaystyle A=\{a_{1},..,a_{n}\}}$ l'ensemble de n actions (ou alternatives).

Soit ${\displaystyle F=\{f_{1},..,f_{q}\}}$ l'ensemble des q critères (ou paramètres).

Nous développons ici le cas où les critères sont à maximiser.

Les données sont représentés sous la forme d'un tableau contenant ${\displaystyle n\times q}$ évaluations.

Chaque ligne correspond à une action et chaque colonne à un critère.

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &f_{1}(.)&f_{2}(.)&...&f_{j}(.)&...&f_{q}(.)\\\hline a_{1}&f_{1}(_{a}{1})&f_{2}(a_{1})&...&f_{j}(a_{1})&...&f_{q}(a_{1})\\\hline a_{2}&f_{1}(a_{2})&f_{2}(a_{2})&...&f_{j}(a_{2})&...&f_{q}(a_{2})\\\hline ...&...&...&...&...&...&...\\\hline a_{i}&f_{1}(a_{i})&f_{2}(a_{i})&...&f_{j}(a_{i})&...&f_{q}(a_{i})\\\hline ...&...&...&...&...&...&...\\\hline a_{n}&f_{1}(a_{n})&f_{2}(a_{n})&...&f_{j}(a_{i})&...&f_{q}(a_{n})\\\hline \end{array}}}$

Exemple : Choix d'un site

En premier, La comparaison sera faite paire par paire entre toutes les actions pour chaque critère :

${\displaystyle d_{k}(a_{i},a_{j})=f_{k}(a_{i})-f_{k}(a_{j})}$

${\displaystyle d_{k}(a_{i},a_{j})}$ est la différence entre les évaluations de deux actions pour le critère${\displaystyle f_{k}}$ . Bien entendu, ces différences dépendent des échelles de mesure utilisées et ne sont pas toujours faciles à comparer pour le décideur.

En conséquence, la notion de fonction de préférence est introduite pour traduire la différence dans un degré de préférence unicritère comme suit :

${\displaystyle \pi _{k}(a_{i},a_{j})=P_{k}[d_{k}(a_{i},a_{j})]}$

Où ${\displaystyle P_{k}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]}$ est une fonction de préférence positif non décroissante telle que ${\displaystyle P_{j}(0)=0}$.

Six différents types de fonction de préférence sont proposées dans la définition originale PROMETHEE. Parmi eux, la fonction linéaire unicritère la préférence est souvent utilisée en pratique pour des critères quantitatifs :

${\displaystyle P_{k}(x){\begin{cases}0,&{\text{if }}x\leq q_{k}\\{\frac {x-q_{k}}{p_{k}-q_{k}}},&{\text{if }}q_{k}<x\leq p_{k}\\1,&{\text{if }}x>p_{k}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle q_{j}}$ and ${\displaystyle p_{j}}$ sont respectivement l'indifférence et les seuils de préférence. La signification de ces paramètres est la suivante : lorsque la différence ${\displaystyle d_{k}}$ est inférieure au seuil de l'indifférence ${\displaystyle q_{j}}$, elle est considérée comme négligeable par le décideur. Par conséquent, le degré unicritère de préférence correspondant est égal à zéro (il n'y a pas d'action préférée à l'autre). Si la différence dépasse le seuil de préférence ${\displaystyle p_{j}}$, elle est considérée comme significative. Par conséquent, le degré de préférence unicritère est égal à un (la valeur maximale). Lorsque la différence est entre les deux seuils, une valeur intermédiaire est calculée pour le degré de préférence en utilisant une interpolation linéaire.

• Usuelle (Usual)

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{if}}&d_{j}\leq 0\\\\1&{\text{if}}&d_{j}>0\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• en U (U-Shape)

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{if}}&d_{j}\leq q_{j}\\\\1&{\text{if}}&d_{j}>q_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• en V (V-Shape)

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}{\frac {|d_{j}|}{p_{j}}}&{\text{if}}&d_{j}\leq p_{j}\\\\1&{\text{if}}&d_{j}>p_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• Palier (Level)

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{if}}&d_{j}\leq q_{j}\\\\{\frac {1}{2}}&{\text{if}}&q_{j}<d_{j}\leq p_{j}\\\\1&{\text{if}}&d_{j}>p_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• Linéaire (Linear)

${\displaystyle {\begin{array}{cc}P_{j}(d_{j})=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{if}}&d_{j}\leq q_{j}\\\\{\frac {|d_{j}|-q_{j}}{p_{j}-q_{j}}}&{\text{if}}&q_{j}<d_{j}\leq p_{j}\\\\1&{\text{if}}&d_{j}>p_{j}\\\end{array}}\right.\end{array}}}$

• Gausienne (Gaussian)

${\displaystyle P_{j}(d_{j})=1-e^{-{\frac {d_{j}^{2}}{2s_{j}^{2}}}}}$

Lorsqu'une fonction de préférence a été associée à chaque critère par le décideur, toutes les comparaisons entre toutes les paires d'actions peut être effectué pour tous les critères. Un degré de préférence multicritère est ensuite calculé pour comparer globalement chaque couple d' action:

${\displaystyle \pi (a,b)=\displaystyle \sum _{k=1}^{q}P_{k}(a,b).w_{k}}$

Où ${\displaystyle w_{k}}$ représente le poids du critère ${\displaystyle f_{k}}$ (l'importance du critère en pourcentage, proche de 1 si très important, proche de 0 si très peu significatif).
Il est supposé que ${\displaystyle w_{k}\geq 0}$ et ${\displaystyle \sum _{k=1}^{q}w_{k}=1}$. Par conséquent, nous avons :

${\displaystyle \pi (a_{i},a_{j})\geq 0}$

${\displaystyle \pi (a_{i},a_{j})+\pi (a_{j},a_{i})\leq 1}$

Afin de positionner chaque action a par rapport à toutes les autres actions, deux grandeurs sont calculées :

${\displaystyle \phi ^{+}(a)={\frac {1}{n-1}}\displaystyle \sum _{x\in A}\pi (a,x)}$

${\displaystyle \phi ^{-}(a)={\frac {1}{n-1}}\displaystyle \sum _{x\in A}\pi (x,a)}$

le flux positif de préférence (ou flux sortant) ${\displaystyle \phi ^{+}(a_{i})}$ quantifie la manière dont une action donnée ${\displaystyle a_{i}}$ est globalement préférée à toutes les autres actions tandis que le flux négatif de préférence(ou flux entrant) ${\displaystyle \phi ^{-}(a_{i})}$ quantifie la manière dont une action donnée ${\displaystyle a_{i}}$ est globalement préférée par toutes les autres actions.

Une action idéale aurait un flux positif de préférence égal à 1 et un flux négatif de préférence égal à 0. Les deux flux de préférence induisent généralement deux classements complets différents sur l'ensemble des actions. Le premier est obtenu en classant les actions en fonction des valeurs décroissantes de leurs scores de flux positifs. Le second est obtenu en classant les actions en fonction des valeurs croissantes de leurs scores de flux négatif. Le classement Prométhée I partiel est défini comme l'intersection de ces deux classements. En conséquence, une action ${\displaystyle a_{i}}$ sera aussi bon que d'une autre action ${\displaystyle a_{j}}$ si ${\displaystyle \phi ^{-}(a_{i})\geq \phi ^{-}(a_{j})}$ et ${\displaystyle \phi ^{+}(a_{i})\geq \phi ^{+}(a_{j})}$

Les flux de préférence positif et négatif sont regroupés dans le flux net de préférence :

${\displaystyle \phi (a)=\phi ^{+}(a)-\phi ^{-}(a)}$

Les conséquences directes de la formule précédente sont :

${\displaystyle \phi (a_{i})\in [-1;1]}$

${\displaystyle \sum _{a_{i}\in A}\phi (a_{i})=0}$

Le classement Prométhée II complet est obtenu en ordonnant les actions selon les valeurs décroissantes des flux nets.

Selon la définition du degré de préférence multicritère, le flux net multicritère peuvent être décomposé comme ceci :

${\displaystyle \phi (a_{i})=\displaystyle \sum _{k=1}^{q}\phi _{k}(a_{i}).w_{k}}$

Où :

${\displaystyle \phi _{k}(a_{i})={\frac {1}{n-1}}\displaystyle \sum _{a_{j}\in A}\{P_{k}(a_{i},a_{j})-P_{k}(a_{j},a_{i})\}}$.

Le flux net unicritère, noté ${\displaystyle \phi _{k}(a_{i})\in [-1;1]}$, a la même interprétation que le flux net multicritère ${\displaystyle \phi (a_{i})}$ mais il est limité à un seul critère.

Toute action ${\displaystyle a_{i}}$ peut donc être caractérisée par son vecteur :

${\displaystyle {\vec {\phi }}(a_{i})=[\phi _{1}(a_{i}),...,\phi _{k}(a_{i}),\phi _{q}(a_{i})]}$ dans un espace à ${\displaystyle q}$ dimension.

Le plan GAIA est le plan principal obtenu en appliquant une Analyse en composantes principales à l'ensemble des actions dans cet espace.

PROMETHEE I est un classement partiel des actions.

La méthode PROMETHEE I consiste à classer les actions par flux entrant croissant et flux sortant décroissant :

• a P b (a préféré à b) ssi ${\displaystyle \phi ^{+}(a)\geq \phi ^{+}(b)}$ et ${\displaystyle \phi ^{-}(a)\leq \phi ^{-}(b)}$ et au moins une des deux inégalités est stricte

• a I b (a indifférent à b ) ssi ${\displaystyle \phi ^{+}(a)=\phi ^{+}(b)}$ et ${\displaystyle \phi ^{-}(a)=\phi ^{-}(b)}$

• sinon a R b (a est préféré ou indifférent à b, préférence faible)

PROMETHEE II est un classement complet des actions.

La méthode PROMETHEE II consiste à classer les actions par flux net décroissant :

a P b ssi ${\displaystyle \phi (a)>\phi (b)}$

a I b ssi ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)}$