Norme d'idéal

Soit A un anneau de Dedekind, K son corps des fractions et B sa fermeture intégrale dans une extension finie séparable L de K. (Cela implique que B est aussi un anneau de Dedekind.) Soit ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{B}}$ les groupes d'idéaux fractionnaires non nuls de A et B, respectivement. Suivant Jean-Pierre Serre, la norme relative est l'unique morphisme de groupes

${\displaystyle N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}}$

qui satisfait ${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{\mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}}$ pour tout idéal premier non nul ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ de B, où ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A}$ est l'idéal premier de A situé en dessous ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$.

De manière équivalente, pour tout ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}}$ on peut définir de ${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {b}})}$ comme étant l'idéal fractionnaire de A engendré par l'ensemble ${\displaystyle \{N_{L/K}(x)\mid x\in {\mathfrak {b}}\}}$ des normes d'éléments de B.

Pour ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}}$, on a ${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}}$, où ${\displaystyle n=[L:K]}$.

La norme d'un idéal principal est donc compatible avec la norme d'un élément :

${\displaystyle N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.}$

Soit ${\displaystyle L/K}$ une extension galoisienne de corps de nombres avec pour anneaux d'entiers ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$.

Alors ce qui précède s'applique avec ${\displaystyle A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}}$, et pour tout ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}}$ on a

${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}({\mathfrak {b}})=K\cap \prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),}$

qui est un élément de ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}}$. La notation ${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}}$ est parfois abrégée en ${\displaystyle N_{L/K}}$.

Dans le cas ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$, ${\displaystyle N_{L/\mathbb {Q} }}$ est à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{*}}$, en identifiant tout idéal fractionnaire non nul de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ à l'unique rationnel strictement positif qui l'engendre. Selon cette convention, la norme relative de ${\displaystyle L}$ sur ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ coïncide avec la norme absolue définie ci-dessous.

Soit ${\displaystyle L}$ un corps de nombres, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ l'anneau de ses entiers, et ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ un idéal non nul de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$.

La norme absolue de ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ est

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,}$

Par convention, la norme de l'idéal zéro est prise égale à zéro.

La norme absolue s'étend de manière unique en un morphisme de groupes

${\displaystyle N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{+}^{*}}$.

La norme d'un idéal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ peut être utilisée pour majorer la norme du plus petit élément non nul qu'il contient :

La borne de Minkowski énonce qu'il existe toujours un ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$ non nul tel que

${\displaystyle \left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),}$

où

• ${\displaystyle \Delta _{L}}$ est le discriminant de L et
• ${\displaystyle s}$ est le nombre de paires de plongements complexes de L dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$.