Nombre puissant

La décomposition d'un nombre puissant en produit d'un cube et d'un carré n'est pas unique dès lors qu'une des puissances dans sa décomposition en facteur premier vaut 6 ou est supérieure ou égale à 8. En effet ${\displaystyle p^{6}}$ peut être lu comme le carré de ${\displaystyle p^{3}}$ ou le cube de ${\displaystyle p^{2}}$.

Cependant, pour un nombre puissant ni cube, ni carré, la décomposition d'un nombre puissant sous la forme ${\displaystyle a^{2}b^{3}}$, où ${\displaystyle b}$ est un entier sans facteur carré, est unique.

Il existe une infinité de nombres puissants mais aucun de la forme 2(2p+1).

La somme des inverses des nombres puissant converge ${\displaystyle \sum _{r{\text{ puissant}}}r^{-1}=\prod _{p{\text{ premier}}}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\cdot \zeta (3)}{\zeta (6)}}}$ où ${\displaystyle \zeta ()}$ est la fonction zêta de Riemann[1].

Le produit de deux nombres puissants est un nombre puissant[2].

Il existe une infinité de paires de nombres puissants consécutifs comme (8,9) ou (288,289). On peut en générer autant que l'on veut à l'aide d'une équation de Pell-Fermat[3]. Si ${\displaystyle (x,y)}$ est solution de ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1}$ alors ${\displaystyle (A,\,B)}$ où ${\displaystyle A=8(xy)^{2}}$ et ${\displaystyle B=(x^{2}+2y^{2})^{2}}$ est un couple de nombres puissants consécutifs. En 1970, on ne connaissait qu'un seul couple de nombres puissants consécutifs dont aucun n'est un carré[2] : le couple ${\displaystyle (23^{3},\,2^{3}\times 39^{2})}$.

Plus généralement, en 1982, Wayne L. McDaniel a démontré que tout nombre entier peut s'écrire d'une infinité de façons comme la différence de deux nombres puissants[4].

Concernant une suite de trois nombres puissants consécutifs, il est conjecturé mais non encore démontré, qu'il n'en existerait pas[5].

Une suite de quatre nombres puissants consécutifs ne peut pas exister car parmi 4 entiers consécutifs, l'un est nécessairement le double d'un nombre impair et ne peut donc pas être puissant[3].