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Nombre de Kostka

En mathématiques, le nombre de Kostka , paramétré par deux partition d'un entier et , est un entier naturel qui est égal au nombre de tableaux de Young semi-standard de forme et de poids . Ils ont été introduits par le mathématicien Carl Kostka dans ses études des fonctions symétriques[1] - [2].

Les trois tableaux de Young semi-standard de forme et de poids . Leur nombre est le nombre de Kostka .

Par exemple, si et , le nombre de Kostka compte le nombre de manières de remplir une collection de 5 cellules alignée à gauche, avec 3 cellules dans la première ligne et 2 dans la seconde, et contenant une fois les entiers 1 et 2, deux fois l'entier 3 et une fois l'entier 4. De plus, les entiers doivent être strictement croissants en colonne, et faiblement croissants en ligne. Les trois tableaux possibles sont montrés sur la figure, et on a donc .

Exemples et cas particuliers

Pour toute partition , le nombre de Kostka est égal à 1 : c'est l'unique manière de remplir le diagramme de Young de forme avec exemplaires du nombre 1, exemplaires de 2, etc, tout en respectant les conditions de croissance sur les lignes et les colonnes : tous les 1 sont placés dans la première ligne, les 2 dans la deuxième ligne, etc. Un tel tableau est parfois appelé le tableau de Yamanouchi de forme .

Le nombre de Kostka est positif ou, en d'autres termes, il existe au moins un tableau de Young de forme et de poids si et seulement si et sont toutes deux des partitions d'un même entier, et si est plus grande que dans l'ordre de domination, c'est-à-dire si