Nombre d'argent

De même que le nombre d'or est relié à toute suite de Fibonacci généralisée, le nombre d'argent est relié à toute suite de Pell généralisée, vérifiant ${\displaystyle u_{n+2}=2u_{n+1}+u_{n}}$ ; le terme général d'une telle suite s'écrit en effet ${\displaystyle u_{n}=A(1+{\sqrt {2}})^{n}+B(1-{\sqrt {2}})^{n}=A\varphi _{2}^{n}+B\varphi _{2}'^{n}}$ où ${\displaystyle \varphi _{2}'=1-{\sqrt {2}}}$ est l'autre solution de ${\displaystyle x^{2}=2x+1}$.

Par exemple, pour la suite de Pell proprement dite définie par ${\displaystyle P_{0}=0,\quad P_{1}=1,\quad \forall n\geqslant 0\quad P_{n+2}=2P_{n+1}+P_{n}}$, le terme général s'écrit :

${\displaystyle P_{n}={\frac {\varphi _{2}^{n}-\varphi _{2}'^{n}}{\varphi _{2}-\varphi _{2}'}}}$, formule analogue à la formule de Binet pour la suite de Fibonacci.

La suite de Pell-Lucas ${\displaystyle (Q_{n})}$ de premiers termes ${\displaystyle Q_{0}=Q_{1}=2}$ vérifie ${\displaystyle Q_{n}=\varphi _{2}^{n}+\varphi _{2}'^{n}}$.

De plus, pour toute suite vérifiant ${\displaystyle u_{n+2}=2u_{n+1}+u_{n}}$ de limite infinie, le nombre d'argent est la limite des rapports successifs ${\displaystyle {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}}$.

Inversement, les puissances successives du nombre d'argent vérifient ${\displaystyle \varphi _{2}^{n}=P_{n}\varphi _{2}+P_{n-1}}$.

Le nombre d'argent étant un nombre de Pisot-Vijayaraghavan, il possède une propriété rare d'approximation diophantienne : la suite des parties fractionnaires de ses puissances tend vers 0.

Le nombre d'or étant la solution positive de l'équation ${\displaystyle x^{2}=x+1}$, équation caractéristique de la récurrence de Fibonacci : ${\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}}$, il a été proposé[3] que le nombre d'argent soit la solution positive de l'équation ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+x+1}$, équation caractéristique de la récurrence : ${\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}+u_{n-3}}$.

Mais cette récurrence ayant été désignée, par un jeu de mots, récurrence de Tribonacci, la constante associée s'appelle désormais constante de Tribonacci, égale à environ ${\displaystyle 1,8392867552141612\,}$.

Dans la même veine, on trouve aussi le premier nombre de Pisot-Vijayaraghavan, unique solution positive de l'équation ${\displaystyle x^{3}=x+1}$, équation caractéristique de la récurrence de Padovan : ${\displaystyle u_{n}=u_{n-2}+u_{n-3}}$, mais il a été rétrogradé au rang de nombre plastique, ou constante de Padovan.

L'inverse du nombre d'or étant égal à ${\displaystyle 2\sin {18^{\circ }}=2\sin {\frac {\pi }{10}}}$, il a été proposé que le nombre d'argent noté ${\displaystyle u}$ soit égal à ${\displaystyle 2\sin {10^{\circ }}=2\sin {\frac {\pi }{18}}\approx 0,3472963554}$.

Il est la racine positive de l'équation ${\displaystyle x^{3}=3x-1}$, associée à la récurrence ${\displaystyle u_{n}=3u_{n-2}-u_{n-3}}$.

La courbe de Lissajous ${\displaystyle x=\sin {(u)}}$ et ${\displaystyle y=\sin {(3u)}}$ (cubique) est très liée à ce problème, de même que la quintique ${\displaystyle x=\sin {(u)}}$ et ${\displaystyle y=\sin {(5u)}}$.

Cette appellation est parfois donnée à un triangle (voir à triangle d'or). Ses dimensions sont liées au nombre d'or et non au nombre d'argent, il faut donc lui préférer l’appellation gnomon d'or.

• Nombres métalliques
• Octogone
• Racine carrée imbriquée

(en) Ron Knott, « The Silver Means »