NURBS

Les NURBS sont utilisées pour représenter mathématiquement des objets géométriques. Elles généralisent la représentation par les B-splines des courbes et des surfaces en ajoutant un dénominateur. Elles sont en fait définies avec des points en coordonnées homogènes. Une B-spline ressemble à une représentation polynomiale par morceaux, alors qu'une NURBS est une représentation par fractions rationnelles par morceaux. Notamment utilisées dans les logiciels d'édition 3D, ces fonctions d'ajustement sont particulièrement utilisées dans le domaine de l'informatique, plus précisément dans la compression d'images et dans le design assisté par ordinateur, afin de générer et représenter des formes douces et ergonomiques. Du fait qu'elle présentent de nombreux avantages, leur utilisation est largement répandue :

• facilité et précision pour évaluer une forme ;
• capacité pour approximer des formes complexes ;
• simplicité de construction et d'implémentation ;
• faible complexité des algorithmes utilisés.

Courbes possédant le même polygone de contrôle et des vecteurs nodaux différents :
(a) ${\displaystyle T=\left(0,0,0,0,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},1,1,1,1\right)}$ ;
(b) ${\displaystyle T=\left(0,{\frac {1}{10}},{\frac {1}{5}},{\frac {3}{10}},{\frac {2}{5}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{5}},{\frac {7}{10}},{\frac {4}{5}},{\frac {9}{10}},1\right)}$.

Le vecteur nodal est une séquence de valeur de paramètre qui détermine où et comment les points de contrôle vont affecter la forme. Le nombre de nœuds est toujours égal au nombre de point de contrôle plus le degré de la forme plus 1, i.e. étant donné un vecteur nodal ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle n}$ points de contrôles et un degré ${\displaystyle d}$, alors ${\displaystyle \#T=n+d+1}$.

Le vecteur nodal divise l'espace paramétrique dans des intervalles mentionnés précédemment.

À chaque fois que le paramètre entre dans un nouvel intervalle nodal, un nouveau point de contrôle devient actif tandis qu'un plus ancien devient inactif. Ceci garantit donc l'influence locale des points de contrôles.

Un vecteur nodal est défini par une séquence de nœud où les nœuds ont des valeurs comprises entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle 1}$ (i.e. ${\displaystyle t_{i}\leq t_{i+1}}$).

Par exemple en considérant ${\displaystyle m+1}$ nœuds le vecteur va se présenter sous la forme : ${\displaystyle U=(t_{0},t_{1},\cdots ,t_{m})}$.

Des nœuds consécutifs peuvent avoir des valeurs identiques, ceci est défini par la multiplicité d'un nœud et permet d'accentuer l'influence d'un point sur la courbe.

Par exemple, le premier et le dernier point du polygone de contrôle sont par convention multiples. Les ${\displaystyle d+1}$ premiers nœuds sont nuls et les ${\displaystyle d+1}$ derniers nœuds sont égaux à 1, i.e. ${\displaystyle T=(\underbrace {0,\cdots ,0} _{d+1},t_{d+1},t_{d+2},\cdots ,t_{m-d-1},t_{m-d},\underbrace {1,\cdots ,1} _{d+1})}$. Ceci oblige alors la courbe à passer par le premier ainsi que par le dernier point du polygone de contrôle.

De plus, lorsque l'écart entre chaque nœud consécutifs du sous-ensemble ${\displaystyle t_{d+1},\cdots ,t_{m-d}}$ est identique, i.e. ${\displaystyle t_{i}={\frac {i-d-1}{m-2d-1}}|i\in [d+1,m-d]}$, le vecteur est uniforme et la courbe l'utilisant est dite uniforme.

Les fonctions de base des NURBS de degré ${\displaystyle d}$ sont définies par la formule doublement récursive de Cox-De Boor :

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{lcl}N_{j}^{0}(t)&=&1\!\!1_{[t_{j},t_{j+1}[}(t)\\N_{j}^{d}(t)&=&{\frac {t-t_{j}}{t_{j+d}-t_{j}}}N_{j}^{d-1}(t)+{\frac {t_{j+d+1}-t}{t_{j+d+1}-t_{j+1}}}N_{j+1}^{d-1}(t)\end{array}}\right.}$

où les ${\displaystyle t_{j}}$ sont des nœuds appartenant au vecteur nodal, et ${\displaystyle d}$ le degré de la NURBS.

Lorsque plusieurs nœuds ${\displaystyle t_{j}}$ sont confondus, on pose ${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$.

La formule des courbes NURBS possède de grandes correspondances avec celle des B-splines. Elle est simplement généralisée afin d'être appliquée à des coordonnées homogènes.

Ainsi la formule d'une courbe NURBS est illustré de la manière suivante :

${\displaystyle C(t)={\frac {\sum _{i=1}^{m}\omega _{i}P_{i}N_{i}^{n}(t)}{\sum _{i=1}^{m}\omega _{i}N_{i}^{n}(t)}}}$

où les ${\displaystyle w_{i}}$ sont les poids des coordonnées homogènes des points de contrôle donnés ${\displaystyle P_{i}}$, ${\displaystyle m}$ le nombre de nœuds, ${\displaystyle n}$ le degré de la NURBS, ${\displaystyle N_{i}^{n}}$ les coefficients calculés selon l'algorithme de Cox-de Boor, et ${\displaystyle t\in [0,1]}$ le paramètre.

Courbe NURBS avec variation de la coordonnée homogène de ${\displaystyle P_{1}}$. Lorsque la coordonnée homogène est nulle, le point ${\displaystyle P_{1}}$ n'a aucune influence sur la courbe.

La dérivée d'une courbe NURBS en un point représente le vecteur tangent à la courbe en ce point.

La formation de la dérivée est un peu plus complexe et s'exprime de la manière suivante :

${\displaystyle {\frac {\partial C(u)}{\partial u}}=C'(u)={\frac {\sum _{i=0}^{m-n-1}\omega _{i}P_{i}N_{i}^{n}(u)'\sum _{i=0}^{m-n-1}\omega _{i}N_{i}^{n}(u)}{(\sum _{i=0}^{m-n-1}\omega _{i}N_{i}^{n}(u))^{2}}}-{\frac {\sum _{i=0}^{m-n-1}\omega _{i}P_{i}N_{i}^{n}(u)\sum _{i=0}^{m-n-1}\omega _{i}N_{i}^{n}(u)'}{(\sum _{i=0}^{m-n-1}\omega _{i}N_{i}^{n}(u))^{2}}}}$

où :

${\displaystyle N_{i}^{n}(t)'={\frac {n}{t_{i+n}-t_{i}}}N_{i}^{n-1}(t)-{\frac {n}{t_{i+n+1}-t_{i+1}}}N_{i+1}^{n-1}(t)}$

Les surfaces NURBS dépendent de deux degrés ${\displaystyle n_{u}}$ et ${\displaystyle n_{v}}$ ainsi que de deux vecteur nodaux (resp. pour ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$).

Elles ne sont plus contrôlées par un polygone mais par un réseau de contrôle comprenant les points ${\displaystyle P_{i,j}}$.

Surface NURBS definie par un réseau de contrôle.

Ainsi la formule générale d'une surface NURBS s'exprime de la manière suivante :

${\displaystyle S(u,v)={\frac {\sum _{i=0}^{m_{u}-n_{u}-1}\sum _{j=0}^{m_{v}-n_{v}-1}N_{i}^{n_{u}}(u)N_{j}^{n_{v}}(v)\omega _{i,j}p_{i,j}}{\sum _{i=0}^{m_{u}-n_{u}-1}\sum _{j=0}^{m_{v}-n_{v}-1}N_{i}^{n_{u}}(u)N_{j}^{n_{v}}(v)\omega _{i,j}}}}$, avec ${\displaystyle (u,v)\in [0;1]^{2}}$

La dérivée partielle de la surface en un point représente la tangence en ce point selon une direction (${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$).

Pour ${\displaystyle u}$, elle s'exprime de la manière suivante :

${\displaystyle {\frac {\partial S(u,v)}{\partial u}}=S_{u}(u,v)={\frac {R_{u}(u,v)\Omega (u,v)-R(u,v)\Omega _{u}(u,v)}{\Omega (u,v)^{2}}}}$

où :

${\displaystyle R(u,v)=\sum _{i=0}^{p_{u}}\sum _{j=0}^{p_{v}}N_{i}^{n_{u}}(u)N_{j}^{n_{v}}(v)P_{i,j}\omega _{i,j}}$ ,

${\displaystyle R_{u}(u,v)=\sum _{i=0}^{p_{u}}\sum _{j=0}^{p_{v}}{\frac {\mathrm {d} N_{i}^{n_{u}}}{\mathrm {d} u}}(u)N_{j}^{n_{v}}(v)P_{i,j}\omega _{i,j}}$,

${\displaystyle \Omega (u,v)=\sum _{i=0}^{p_{u}}\sum _{j=0}^{p_{v}}N_{i}^{n_{u}}(u)N_{j}^{n_{v}}(v)\omega _{i,j}}$

${\displaystyle \Omega _{u}(u,v)=\sum _{i=0}^{p_{u}}\sum _{j=0}^{p_{v}}{\frac {\mathrm {d} N_{i}^{n_{u}}}{\mathrm {d} u}}(u)N_{j}^{n_{v}}(v)\omega _{i,j}}$

La formulation est similaire pour ${\displaystyle {\frac {\partial S(u,v)}{\partial v}}}$.