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Moyenne de Stolarsky

En mathématiques, la moyenne de Stolarsky est une généralisation de la moyenne logarithmique. Elle a été introduite par Kenneth B. Stolarsky en 1975 [1].

Définition

Étant donné un nombre réel p différent de 0 et 1, la moyenne de Stolarsky d'ordre p de deux nombres réels strictement positifs a, b est définie par :

.

Obtention de cette moyenne

Étant donné une fonction dérivable sur un intervalle , de dérivée strictement monotone sur , il existe, d'après le théorème des accroissements finis, un unique réel dans l'intervalle tel que (qui est la valeur moyenne de sur )

La moyenne de Stolarsky est précisément égale à

lorsqu'on prend .

Propriétés

est bien une moyenne, car comprise entre a et b. De plus on peut prolonger par continuité à l'ensemble des réels, ce qui donne une fonction croissante.

Cas particuliers

  • est le minimum de a et b.
  • s'exprime à partir de la moyenne harmonique et de la moyenne géométrique de a et b.
  • est leur moyenne géométrique.
  • est leur moyenne logarithmique. Elle est obtenue par la formule en prenant .
  • est leur moyenne (de Hölder) d'ordre 1/2.
  • est leur moyenne "identrique" . Elle est obtenue à partir de la formule en prenant .
  • est leur moyenne arithmétique.
  • s'exprime à partir de la moyenne quadratique et de la moyenne géométrique de a et b.
  • est le maximum de a et b.

Généralisations

Pour plusieurs variables

On peut généraliser cette moyenne à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé exprimé à l'aide des différences divisées. On obtient :

avec .

Pour une fonction f quelconque

La définition pour est possible dès que la fonction est strictement convexe et dérivable sur . On a vu ci-dessus les cas .

Pour , on a dont on peut noter qu'elle n'est pas homogène [2].

D'autre part, on peut montrer que la moyenne harmonique ne peut être obtenue comme moyenne de type [2].

Moyennes bi-paramétriques

On peut définir des moyennes de Stolarsky pour deux paramètres p et q par[3]:

.

Voir aussi

Références

  1. Kenneth B. Stolarsky, « Generalizations of the logarithmic mean », Mathematics Magazine, vol. 48, , p. 87–92 (ISSN 0025-570X, DOI 10.2307/2689825, JSTOR 2689825, zbMATH 0302.26003)
  2. J.B. Hiriart-Urruty, « Il y a encore du TAF », Losanges, , p. 41 (lire en ligne Accès limité)
  3. (en) Edward Neuman, « Stolarsky means of several variables », Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 6, no 2, (lire en ligne)
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