Mouvement dans un champ central symétrique

Le hamiltonien du système de deux particules en interaction par un potentiel central symétrique s'écrit (avec ${\displaystyle r=\left|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}\right|}$) :

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {\mathit {H}} }}={\frac {{\widehat {\mathbf {p} }}_{1}^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {{\widehat {\mathbf {p} }}_{2}^{2}}{2m_{2}}}+V(r)}$, (1).

Comme en mécanique classique il est possible d'introduire deux observables correspondant d'une part au mouvement du centre d'inertie du système et d'autre part au mouvement relatif (particule fictive):

${\displaystyle {\widehat {\vec {R_{C}}}}\equiv {\frac {m_{1}{\widehat {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\widehat {\vec {r}}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$, (2),

et ${\displaystyle {\widehat {\vec {r}}}={\widehat {\vec {r}}}_{1}-{\widehat {\vec {r}}}_{2}}$, (3).

À ces deux observables, il est possible d'associer deux opérateurs impulsions correspondants, notés ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {P} }}_{C}}$ et ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}}$, le centre d'inertie se voyant attribuer la masse totale ${\displaystyle m_{T}=m_{1}+m_{2}}$ du système, et la particule fictive la masse réduite ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{T}}}}$. En effet d'après les définitions (1) et (2) précédentes il vient :

${\displaystyle m_{T}{\widehat {\vec {R_{C}}}}=m_{1}{\widehat {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\widehat {\vec {r}}}_{2}}$, par suite ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {P} }}_{C}={\widehat {\mathbf {p} }}_{1}+{\widehat {\mathbf {p} }}_{2}}$, (4).

Par ailleurs l'inversion des formules précédentes (2) et (3) donne :

${\displaystyle {\begin{cases}{\widehat {\vec {r}}}_{1}={\widehat {\vec {R_{C}}}}+\displaystyle {\frac {\mu }{m_{1}}}{\widehat {\vec {r}}}{\text{ , (2bis)}}\\{\widehat {\vec {r}}}_{2}={\widehat {\vec {R_{C}}}}-\displaystyle {\frac {\mu }{m_{2}}}{\widehat {\vec {r}}}{\text{ , (3bis)}}\end{cases}}}$,

d'où il vient l'expression des opérateurs impulsion:

${\displaystyle {\begin{cases}{\widehat {\mathbf {p} }}_{1}=\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{T}}}{\widehat {\mathbf {P} }}_{C}+{\widehat {\mathbf {p} }}\\{\widehat {\mathbf {p} }}_{2}=\displaystyle {\frac {m_{2}}{m_{T}}}{\widehat {\mathbf {P} }}_{C}-{\widehat {\mathbf {p} }}\end{cases}}}$,

par suite il vient finalement l'expression : ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}={\frac {m_{2}{\widehat {\mathbf {p} }}_{1}-m_{1}{\widehat {\mathbf {p} }}_{2}}{m_{T}}}}$, (5).

Pour vérifier que les opérateurs définis par les relations(4) et (5) correspondent bien à ceux de l'impulsion du centre d'inertie et de la particule fictive dont les observables de positions sont définies par (2) et (3), il convient de s'assurer que les relations de commutations entre les composantes selon le même axe de la position et de l'impulsion soient bien identiques aux relations canoniques: ${\displaystyle \left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{1},{\widehat {\mathbf {p} }}_{1x}\right]=\left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{2},{\widehat {\mathbf {p} }}_{2x}\right]=i\hbar }$ [1].

En notant respectivement ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {x} }}_{C}}$ et ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}_{Cx}}$ d'une part, ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {x} }}}$ et ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}_{x}}$, d'autre part, les composantes suivant x des opérateurs position et impulsion du centre d'inertie et de la particule fictive, il vient d'après les formule (2) à (5) et en utilisant les relations de commutation canoniques: ${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{C},{\widehat {\mathbf {p} }}_{Cx}\right]=&\left[{\frac {m_{1}{\widehat {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\widehat {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{T}}},{\widehat {\mathbf {p} }}_{1x}+{\widehat {\mathbf {p} }}_{2x}\right]\\&={\frac {1}{m_{T}}}\left(m_{1}\left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{1},{\widehat {\mathbf {p} }}_{1x}\right]+m_{2}\left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{2},{\widehat {\mathbf {p} }}_{1x}\right]+m_{1}\left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{1},{\widehat {\mathbf {p} }}_{2x}\right]+m_{2}\left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{2},{\widehat {\mathbf {p} }}_{2x}\right]\right)\\&={\frac {1}{m_{T}}}\left(m_{1}i\hbar +0+0+m_{2}i\hbar \right)=i\hbar \end{aligned}}}$ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\widehat {\mathbf {x} }},{\widehat {\mathbf {p} }}_{x}\right]=&\left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{1}-{\widehat {\mathbf {x} }}_{2},{\frac {m_{2}{\widehat {\mathbf {p} }}_{1x}-m_{1}{\widehat {\mathbf {p} }}_{2x}}{m_{T}}}\right]\\&={\frac {1}{m_{T}}}\left(m_{2}\left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{1},{\widehat {\mathbf {p} }}_{1x}\right]+m_{1}\left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{2},{\widehat {\mathbf {p} }}_{2x}\right]-m_{2}\left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{2},{\widehat {\mathbf {p} }}_{1x}\right]-m_{1}\left[{\widehat {\mathbf {x} }}_{1},{\widehat {\mathbf {p} }}_{2x}\right]\right)\\&={\frac {1}{m_{T}}}\left(m_{2}i\hbar +m_{1}i\hbar -0-0\right)=i\hbar \end{aligned}}}$,

et comme il est par ailleurs évident que tous les autres commutateurs entre mêmes opérateurs ou impliquant des composantes distinctes sont nuls, les observables définies par les relations (2) à (5) sont bien ceux de deux particules fictives distinctes.

Le hamiltonien (1) peut alors être exprimé en fonction de ces nouvelles observables. En élevant au carré les relations (4) et (5) et en tenant compte du fait que les commutateurs entre toutes les composantes de ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}_{1}}$ et ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}_{2}}$ sont évidemment nuls, il vient :

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {P} }}_{C}^{2}={\widehat {\mathbf {p} }}_{1}^{2}+{\widehat {\mathbf {p} }}_{2}^{2}+2{\widehat {\mathbf {p} }}_{1}{\widehat {\mathbf {p} }}_{2}}$,

et ${\displaystyle {\frac {m_{T}}{\mu }}{\widehat {\mathbf {p} }}^{2}={\frac {m_{2}}{m_{1}}}{\widehat {\mathbf {p} }}_{1}^{2}+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}{\widehat {\mathbf {p} }}_{2}^{2}-2{\widehat {\mathbf {p} }}_{1}{\widehat {\mathbf {p} }}_{2}}$,

soit en soustrayant membre à membre et en réarrangeant : ${\displaystyle {\frac {{\widehat {\mathbf {P} }}_{C}^{2}}{m_{t}}}+{\frac {{\widehat {\mathbf {p} }}^{2}}{\mu }}={\frac {{\widehat {\mathbf {p} }}_{1}^{2}}{m_{1}}}+{\frac {{\widehat {\mathbf {p} }}_{2}^{2}}{m_{2}}}}$.

Finalement, le hamiltonien (1) peut s'exprimer comme la somme de deux hamiltoniens indépendants : ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {H} }}={\widehat {\mathbf {H} }}_{C}+{\widehat {\mathbf {H} }}_{r}}$, avec:

• ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {H} }}_{C}={\frac {{\widehat {\mathbf {P} }}_{C}^{2}}{2m_{T}}}}$, qui correspond au hamiltonien d'une particule libre, affectée de la masse totale du système,
• et ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {H} }}_{r}={\frac {{\widehat {\mathbf {p} }}^{2}}{2\mu }}+V(r)}$, qui correspond au hamiltonien d'une seule particule de masse μ évoluant dans le potentiel central V(r).

Il est facile de vérifier que ${\displaystyle \left[{\widehat {\mathbf {H} }}_{C},{\widehat {\mathbf {H} }}_{r}\right]=0}$ et par suite il est possible de séparer l'étude du mouvement (trivial) du centre d'inertie de celui de la particule fictive. Le retour aux particules "réelles" est aisé en utilisant les relations d'inversion (2bis) et (3bis). Par suite en mécanique quantique comme en mécanique classique il y a la séparation entre le mouvement du centre d'inertie[2] et celui de la particule fictive.

Dans la suite, seul le mouvement de la particule fictive de hamiltonien ${\displaystyle {\widehat {\textbf {H}}}_{r}}$ est étudié, en se plaçant en représentation position[3]. Le hamiltonien étant indépendant du temps, l'étude quantique se ramène à la résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour la fonction d'onde ${\displaystyle \psi \left({\vec {r}}\right)}$: ${\displaystyle {\widehat {\textbf {H}}}_{r}\psi \left({\vec {r}}\right)=E\psi \left({\vec {r}}\right)}$, soit de façon explicite:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}\Delta }{2\mu }}+\left(V(r)-E\right)\right]\psi \left({\vec {r}}\right)=0}$, (6).

Exemple de potentiel effectif dans le cas du champ coulombien attractif. L'effet de la barrière centrifuge se fait sentir à courte distance et l'emporte à courte distance sur le champ attractif.

Vue l'invariance par rotation autour de l'origine des coordonnées, il est judicieux de se placer en coordonnées sphériques ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$, pour lesquelles le laplacien s'écrit :

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r.)+{\frac {1}{r^{2}\sin {\theta }}}\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {\partial (.)}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial (.)}{\partial \phi }}\right]}$, (6bis),

or l'opérateur carré du moment cinétique orbital de la particule en représentation position et en coordonnées sphériques s'écrit :

${\displaystyle {\widehat {\textbf {L}}}^{2}=-\hbar ^{2}{\frac {1}{\sin {\theta }}}\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {\partial (.)}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial (.)}{\partial \phi }}\right]}$,

par suite l'opérateur laplacien en coordonnées sphériques peu se mettre sous la forme :

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r.)-{\frac {{\widehat {\textbf {L}}}^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}}$[4] - [5],

et l'équation de Schrödinger (6) devient ainsi :

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r.)+{\frac {{\widehat {\textbf {L}}}^{2}}{2\mu r^{2}}}+\left(V(r)-E\right)\right]\psi \left(r,\theta ,\phi \right)=0}$, (7).

Par suite, il y a séparation des variables radiale et angulaires (ces dernières étant "contenues" dans l'opérateur ${\displaystyle {\widehat {\textbf {L}}}^{2}}$ dans l'équation de Schrödinger). Les états propres sont donc ceux commun aux opérateurs ${\displaystyle {\widehat {\textbf {L}}}^{2}}$, ${\displaystyle {\widehat {\textbf {L}}}_{z}}$, et ${\displaystyle {\widehat {\textbf {H}}}_{r}}$ (qui commutent de façon évidente). Par suite les niveaux d'énergie correspondants doivent a priori dépendre du nombre quantique ${\displaystyle \ell }$, mais pas de m, du fait de l'absence de direction privilégiée de l'espace[6] : chaque niveau d'énergie sera donc (au moins) ${\displaystyle 2\ell +1}$ dégénéré [7] - [8].

Les états propres communs des opérateurs ${\displaystyle {\widehat {\textbf {L}}}^{2}}$ et ${\displaystyle {\widehat {\textbf {L}}}_{z}}$ sont les harmoniques sphériques ${\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\phi )}$, qui constituent la partie angulaire de la fonction d'onde qui peut se mettre sous la forme: ${\displaystyle \psi \left(r,\theta ,\phi \right)=R_{n,\ell }(r)Y_{l,m}(\theta ,\phi )}$, avec ${\displaystyle R_{n,\ell }(r)}$ fonction d'onde radiale (n nombre quantique ad hoc pour l'énergie, en général réel[9]) solution de l'équation à une dimension obtenue en substituant cette expression dans (7) :

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(r.)+\left(V(r)+{\frac {\hbar ^{2}\ell (\ell +1)}{2\mu r^{2}}}-E_{n\ell }\right)\right]R_{n,\ell }(r)=0}$, (8).

Comme la fonction d'onde ${\displaystyle \psi _{n,\ell ,m}(r,\theta ,\phi )}$ doit être normalisée à l'unité, et que par construction les harmoniques sphériques le sont (${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!\!\int _{0}^{\pi }\left|Y_{l,m}(\theta ,\phi )\right|^{2}\mathrm {\sin } {\theta }d\theta d\phi =1}$), la condition de normalisation de la fonction radiale se met sous la forme :

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\!\left|R_{n,\ell }(r)\right|^{2}r^{2}\mathrm {d} r=1}$, (8bis)[10].

La forme de cette condition de normalisation suggère de procéder au changement de fonction ${\displaystyle R_{n\ell }(r)={\frac {u_{n,\ell }(r)}{r}}}$, ce qui donne dans l'équation radiale (8) :

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(u_{n,\ell })+{\frac {1}{r}}\left(U_{eff}(r)-E_{n\ell }\right)u_{n,\ell }(r)=0}$,

la condition de normalisation (8bis) devenant ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\!\left|u_{n,\ell }(r)\right|^{2}\mathrm {d} r=1}$, (8ter), identique à celle d'une fonction d'onde unidimensionnelle ${\displaystyle u_{n,\ell }(r)}$ nulle pour r<0, finalement l'équation radiale s'écrit :

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+\left(U_{eff}(r)-E_{n\ell }\right)\right]u_{n,\ell }(r)=0}$, (9),

avec ${\displaystyle U_{eff}(r)=V(r)+{\frac {\hbar ^{2}\ell (\ell +1)}{2\mu r^{2}}}}$, (10), potentiel effectif.

La forme de l'équation (9) et de la condition de normalisation associée est celle d'une équation de Schrödinger stationnaire unidimensionnelle selon r>0 d'une particule de masse μ se déplaçant dans le potentiel U_eff(r).

Ainsi, et comme en mécanique classique, le problème se ramène à un mouvement unidimensionnel de la particule de fonction d'onde ${\displaystyle u_{n,\ell }(r)=rR_{n,\ell }(r)}$ dans un potentiel effectif, le terme en ${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}\ell (\ell +1)}{2\mu r^{2}}}}$ correspondant à une barrière centrifuge (le mouvement de la particule fictive est bien sûr restreint au domaine r>0). La question de la régularité à l'origine des solutions de l'équation (9) (ou (8)) se pose cependant : en effet, l'expression (6bis) du Laplacien n'est pas définie pour r = 0, car l'usage des coordonnées sphériques privilégie l'origine des coordonnées. Physiquement, les seules solutions acceptables seront celles qui sont régulière à l'origine, ainsi qu'à l'infini, ce qui conduit le plus souvent à imposer des restrictions sur le nombre quantique n, donc à des états propres quantifiés.

La fonction radiale doit avoir tant à l'origine qu'à l'infini un comportement suffisamment régulier pour pouvoir être de carré sommable et donc être normalisable, au moins au sens des distributions, sans quoi elle serait dépourvue de sens physique. Par suite, toutes les solutions mathématiques de (8) (ou (9)) ne sont pas acceptables, et seules celles ayant un comportement asymptotique régulier seront acceptables[11].