Modes à transposition limitée

Les modes à transposition limitée ont tous moins de 12 transpositions par demi-tons (les modes majeurs et mineurs en ont exactement 12)[1].

Par exemple, le Mode 1 de Messiaen n'a que deux transpositions : en transposant l'échelle do ré mi fa♯ sol♯ la♯ d'un demi-ton, on obtient do♯ ré♯ fa sol la si ; si on transpose une seconde fois d'un demi-ton on retombe sur la première échelle[3].

Le mode majeur est caractérisé par la suite d'intervalles : ton, ton, demi-ton, ton, ton, ton, demi-ton. Selon le degré de départ dans cette suite, on construit un mode différent. Avec cette technique on obtient pour les modes de Messiaen un nombre limité d'échelles.

Par exemple, le Mode 1 de Messiaen qui est défini par les intervalles ton, ton, ton, ton, ton, ton donne toujours la même suite quel que soit le degré de départ : il ne contient qu'un seul mode.

De même, le Mode 2 de Messiaen défini par la séquence demi-ton, ton, demi-ton, ton, demi-ton, ton, demi-ton, ton ne donne que deux suites différentes (commençant soit par un ton soit par un demi-ton) et ne contient donc que deux modes distincts.

Le premier mode de Messiaen, aussi appelé gamme par tons, est constitué de six secondes majeures. Il est défini par les intervalles : ton, ton, ton, ton, ton, ton. Il a deux transpositions et un mode. Ce mode n'est pas une invention de Messiaen, mais existait déjà dans la littérature musicale : Mikhaïl Glinka (Rouslan et Ludmila), Franz Liszt, Rimski-Korsakov (Le coq d'or), et surtout Vladimir Rebikov, Claude Debussy et Béla Bartók (qui le considérait comme un mode intermédiaire entre le diatonisme et le chromatisme) l'ont abondamment utilisé avant Messiaen.

Le second mode ou échelle octotonique est divisé en quatre groupes de trois notes chacun. Il a trois transpositions, comme l'accord de septième diminuée.On peut donc y enchaîner quatre septièmes ou neuvièmes mineures de dominante à distance de tierces mineures. Il est également appelé « mode demi-diminué », mode « demi-ton − ton » ou « mode de Bertha ». On le trouve déjà dans la première ballade de Chopin op. 23.

Le troisième mode (échelle nonatonique) est divisé en trois groupes de quatre notes chacun. Il a quatre transpositions, comme l'accord de quinte augmentée. On peut y enchaîner trois septièmes ou neuvièmes majeures de dominante à distance de tierces majeures. Notons que la gamme par tons (1^er mode) s'y trouve incluse.

Les quatrième, cinquième, sixième et septième modes ont six transpositions chacun, comme le triton.

Alors que la gamme majeure a pour motif "T T 1/2T T T T 1/2T", soit, en nombre de demi-tons "2 2 1 2 2 2 1" (dont la somme couvre les 12 demi-tons de l'octave), les modes à transposition limitée ont pour motif:

La symétrie inhérente à ces modes (signifiant qu'aucune note ne peut être perçue comme la tonique), de même que certains dispositifs rythmiques comme les rythmes non rétrogradables, fut décrite par Messiaen comme « le charme des impossibilités ». Cette symétrie produit un « effet couleur de vitrail » aux dires du compositeur et crée une ambiguïté harmonieuse entre plusieurs tonalités d'où une polytonalité. Par exemple, le deuxième mode contient 4 septièmes de dominante. On peut aussi considérer que, contrairement aux séries dodécaphoniques qui procèdent d'une permutation d'un nombre donné de notes, les modes à transposition limitée procèdent d'une combinaison de notes.

Il est bon de remarquer qu'il existe d'autres modes satisfaisant les définitions ci-dessus. Mathématiquement, on peut même considérer les deux cas extrêmes de la gamme chromatique et de l'ensemble vide (utilisé au moins dans 4'33" de John Cage). Les 7 modes trouvés par Messiaen et les autres sont inclus les uns dans les autres selon une structure de treillis. En effet, tous ces modes sont les invariants de groupes de transpositions, et sont des réunions d'orbites des actions de ces groupes. En gardant ceux de ces modes qui ont au moins deux notes et au plus 10, on en trouve 15. En voici la liste classée par la plus petite transposition qui laisse le mode invariant, et donnée par nombre de demi-tons. Les 7 modes de Messiaen y figurent en gras.

En voici une représentation graphique sous forme d'horloges.

Les 15 modes à transposition limitée.

La propriété d'admettre un nombre limité de transpositions se généralise à d'autres échelles que la division de l'octave en 12 notes, et en particulier aux échelles microtonales. Par exemple, il y a 380 modes à transpositions limitées dans un tempérament à 24 notes par octaves.

• Mode

• Claude Abromont et Eugène de Montalembert, Guide de la théorie de la musique, Librairie Arthème Fayard et Éditions Henry Lemoine, coll. « Les indispensables de la musique », 2001, 608 p. [détail des éditions] (ISBN 978-2-213-60977-5)