Modèle de l'hyperboloïde

Si x = (x₀, x₁, …, x_n) est un élément de l'espace Rⁿ⁺¹, la forme quadratique de Minkowski est définie par :

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}}$

Les points x∈ Rⁿ⁺¹ tel que Q(x) = 1 forment un hyperboloïde S de dimension n constitué de deux composantes connexes, ou feuilles : la feuille avant, ou future, S⁺, où x₀>0 et la feuille arrière, ou passée, S⁻, où x₀<0. Les points du modèle de l'hyperboloïde de dimension n sont les points appartenant à la feuille S⁺.

La forme bilinéaire de Minkowski B (qui n'est pas un produit scalaire) est la polarisation de la forme quadratique de Minkowski Q :

${\displaystyle B(x,y)={\dfrac {Q(x+y)-Q(x)-Q(y)}{2}}}$

Explicitement,

${\displaystyle B(x,y)=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}}$.

La distance hyperbolique entre deux points x et y de S⁺ est donnée par la formule :

${\displaystyle d(x,y)=\cosh ^{-1}(B(x,y))}$

Les droites hyperboliques sont représentées dans le modèle de l'hyperboloïde par des hyperboles, intersections de l'hyperboloïde avec des plans passant par l'origine.

Le plan tangent en x à l'hyperboloïde est le noyau de la forme linéaire :

${\displaystyle x_{0}\mathrm {d} x_{0}-x_{1}\mathrm {d} x_{1}-\ldots -x_{n}\mathrm {d} x_{n}=0}$.

Les formes linéaires ${\displaystyle \mathrm {d} u_{0}}$, ..., ${\displaystyle \mathrm {d} u_{n}}$ étant liées par cette relation, la métrique locale de ce plan tangent est donnée par :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x_{1}^{2}+\ldots +\mathrm {d} x_{n}^{2}-\mathrm {d} x_{0}^{2}}$

On passe du modèle de l'hyperboloïde à un modèle sur une boule unité de deux façons possibles :

• Ou bien on projette l'hyperboloïde sur le plan ${\displaystyle x_{0}=1}$ à partir de l'origine du repère et on obtient le modèle de Klein. Dans ce dernier modèle, les droites hyperboliques sont représentées par des segments.
• Ou bien on projette l'hyperboloïde sur le plan ${\displaystyle x_{0}=0}$ à partir du point (-1, 0, ..., 0) et on obtient le disque de Poincaré. Dans ce dernier modèle, les droites hyperboliques sont représentées par des arcs de cercles.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hyperboloid model » (voir la liste des auteurs).