Modèle cellulaire de Potts

Le modèle original proposé par Graner et Glazier contient deux types de cellules, qui ont des paramètres différents pour l'adhésion cellulaire, avec une cellule du même type, de l'autre type ou avec le milieu. Le volume cellulaire est supposé proche d'une valeur cible et variant peu. L'hamiltonien est alors :

${\displaystyle H=\sum _{i,j\ {\text{voisins}}}J(\tau (\sigma _{i}),\tau (\sigma _{j}))(1-\delta (\sigma _{i},\sigma _{j}))+\lambda \sum _{\sigma _{i}}(v(\sigma _{i})-V(\sigma _{i}))^{2}}$

où ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$ sont des pixels, ${\displaystyle \sigma _{i}}$ la cellule au pixel ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \tau _{i}}$ le type cellulaire de la cellule ${\displaystyle \sigma _{i}}$, ${\displaystyle J}$ le coefficient déterminant l'adhésion entre deux types cellulaires, ${\displaystyle \delta }$ le delta de Kronecker, ${\displaystyle v(\sigma )}$ le volume de la cellule ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle V(\sigma )}$ son volume cible et ${\displaystyle \lambda }$ le multiplicateur de Lagrange déterminant la force de la contrainte de volume.

Les cellules avec un ${\displaystyle J}$ d'adhésion de leurs membranes plus faible vont avoir tendance à rester ensemble, ce qui permet de simuler différents motifs de tri cellulaires (mélange de types cellulaires, regroupement de cellules de même type, etc.).

Dans le CPM, les cellules peuvent se déplacer dans la direction d'un gradient de concentration de chimiokine en augmentant la probabilité de copie d'id du pixel ${\displaystyle j}$ au pixel ${\displaystyle i}$ lorsque la concentration en chimiokine est plus grande au site ${\displaystyle j}$. Pour cela, le calcul du changement d'énergie${\displaystyle \Delta H}$ est modifié par un terme proportionnel à la différence de concentration entre ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$[3] :

${\displaystyle \Delta H'=\Delta H-\mu (C_{i}-C_{j})}$

où ${\displaystyle \mu }$ est la force du mouvement chimiotactique et ${\displaystyle C_{i}}$et ${\displaystyle C_{j}}$ sont les concentrations en chimiokines aux sites ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$ respectivement. Le gradient en chimiokine est généralement implémenté dans une grille secondaire de même dimension que la grille des cellules.

Des dynamiques de signalement internes aux cellules ainsi que des dynamiques à d'autres échelles temporelles (plus rapide ou plus lent que le mouvement des cellules) peuvent également être intégrés au CPM[4].