Matériau main gauche

Le terme « matériaux main gauche » a été inventé par le théoricien russe V. G. Veselago en 1968[3] : il publie un article qui pose de façon analytique la propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu dont la Permittivité diélectrique relative ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ et la Perméabilité magnétique ${\displaystyle \mu _{r}}$ seraient tous deux négatifs. Dans un matériaux où un seul de ces termes est négatif, l'indice serait imaginaire, ainsi les ondes n'existeraient que sous forme évanescente.

Ainsi la position géométrique des champs électrostatique et magnétique par rapport au Vecteur d'onde, c'est-à-dire au sens de propagation de l'onde, est inversée, suivant une règle de la main gauche au lieu de la règle de la main droite habituelle en électromagnétique[1].

À partir des équations de Maxwell, on peut poser pour tout matériau :
${\displaystyle \operatorname {\overrightarrow {rot}} {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$
${\displaystyle \operatorname {\overrightarrow {rot}} {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}}$ avec ${\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}}$ et ${\displaystyle {\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}}$

Pour un matériau isotrope la solution élémentaire est une onde, progressive, sinusoidale, de fréquence angulaire ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle {\vec {p}}}$ étant le vecteur position :
${\displaystyle {\vec {k}}=\omega {\sqrt {\epsilon \mu }}{\vec {u}}_{1}}$
${\displaystyle {\vec {B}}=B_{0}e^{i\left({\vec {k}}\cdot {\vec {p}}-\omega t\right)}{\vec {u}}_{2}}$
${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {B_{0}}{\sqrt {\epsilon \mu }}}e^{i\left({\vec {k}}\cdot {\vec {p}}-\omega t\right)}{\vec {u}}_{3}}$

Dans un matériau habituel, les vecteurs unitaires ${\displaystyle {\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2},{\vec {u}}_{3}}$ forment une base directe. La célérité de l'onde est c, avec ${\displaystyle c^{-1}={\sqrt {\epsilon \mu }}}$.

Le matériau main gauche se définit ici, formellement, comme étant celui qui présente une permittivité et une perméabilité négative, faisant de ${\displaystyle {\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2},{\vec {u}}_{3}}$ une base indirecte.

La généralisation à un matériau pouvant être anisotrope s'obtient en posant matrice formée par les composantes (sur une base direct) des vecteurs E, B et k :

${\displaystyle G=\left({\begin{matrix}E_{x}&E_{y}&E_{z}\\B_{x}&B_{y}&B_{k}\\k_{x}&k_{y}&k_{z}\end{matrix}}\right)}$

Le déterminant de G est positif dans un matériau main droite, négatif dans un matériau main gauche.

illustration de la réfraction à rebrousse-poil

L'indice de réfraction se définit par : ${\displaystyle n^{2}=\epsilon _{r}\mu _{r}}$

Mathématiquement, il peut donc être positif ou négatif. Néanmoins, dans un (méta)matériaux donc ε et μ sont négatifs, le choix d'une valeur négative de n s'impose, afin que la partie imaginaire de n soit positive, ce qui correspond à une atténuation de l'onde au cours de sa propagation. Avec un n positif, la partie imaginaire serait négative et l'onde serait amplifiée au cours de sa propagation, ce qui est physiquement impossible (création d'énergie). Ainsi, n s'écrit[2] :

${\displaystyle n=-{\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}\times \left(1-{\frac {i}{2}}\left({\frac {\epsilon _{i}}{\left|\epsilon _{r}\right|}}+{\frac {\mu _{i}}{\left|\mu _{r}\right|}}\right)\right)}$

L'indice de réfraction négatif a pour conséquence, conformément aux lois de Snell-Descartes, que la réfraction se passe dans la direction opposée à celle d'un matériau usuel : les rayons lumineux incident et transmis se trouvent dans le même demi plan par rapport à la normale. Ce résultat a été vérifié expérimentalement pour la première fois en 2003[4].

D'autres phénomènes, comme l'effet Doppler ou l'effet Vavilov-Tcherenkov, sont eux aussi inversés par rapport aux matériaux usuels[3]. Une autre propriété remarquable des matériaux main gauche est leur vecteur de Poynting : l'énergie se propage dans la direction opposée à la vitesse de phase[1]!

Ce tableau compare la propagation d'une onde dans un matériau main gauche avec celle d'un matériau classique, dans une approche de ligne de transmission. C'est une approche très simpliste, car elle suppose que le matériau serait "main gauche" sur une large gamme de fréquence. En réalité, les conditions ${\displaystyle \epsilon _{r}<0}$ et ${\displaystyle \mu _{r}<0}$ ne se rencontrent que sur une plage étroite de fréquence, et les termes ne sont pas constant[1]

Une ligne classique est un milieu continu, par exemple un câble coaxial, et son modèle électrique infinitésimal est une abstraction d'un segment arbitrairement court. Une ligne main gauche est réellement discrète dans sa constitution, les capacités et les inductances du circuit sont physiquement identifiables.

	Ligne main droite ("classique")	Ligne main gauche	Remarques
Schéma équivalent infinitésimal			Représenté sans pertes.
Équations des télégraphistes[5]	Formulation croisée : ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial x}}(x,t)=-C{\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)}$ Formulation séparée (en complexe) : ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}(x,t)=-\omega ^{2}LCV(x,t)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}(x,t)=-\omega ^{2}LCV(x,t)}$	Formulation croisée : ${\displaystyle {\begin{aligned}V(&x,t)-V(x+dx,t)\\&-\int {I(x,t)dx}=0\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}I(&x,t)-I(x+dx,t)\\&-\int {V(x+dx,t)dx}=0\end{aligned}}}$ Formulation séparée (en complexe) : ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{-\omega ^{2}LC}}V}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{-\omega ^{2}LC}}I}$	Sans pertes. L et C exprimés par unité de longueur.
Relation entre fréquence et nombre d'onde	${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$	${\displaystyle \beta ={\frac {-1}{\omega {\sqrt {LC}}}}}$
Vitesse de groupe : ${\displaystyle v_{g}={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} \beta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$
Vitesse de phase : ${\displaystyle v_{\phi }={\frac {\omega }{\beta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

• voir métamatériaux