Métrique d'Alcubierre

En 1994, Alcubierre a proposé une méthode pour modifier la géométrie de l'espace en créant une vague qui causerait une contraction du tissu de l'espace devant le vaisseau spatial et une expansion de l'espace derrière. Ce vaisseau chevaucherait alors cette vague à l'intérieur de la région où l'espace est plat. Pour réaliser cette vague, il a d'abord été pensé que nous devions utiliser beaucoup trop d'énergie négative jusqu'à ce que Harold Sonny White (NASA)[5] - [3] déclare que la quantité d'énergie requise pourrait être considérablement réduite si nous utilisions un anneau au lieu d'une vague.

La métrique d'Alcubierre s'écrit[6] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\left[\mathrm {d} x-v_{s}(t)\;f(r_{s})\;\mathrm {d} t\right]^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}}$,

où :

• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide,
• ${\displaystyle v_{s}(t)={\frac {\mathrm {d} x_{s}(t)}{\mathrm {d} t}}}$ est la vitesse le long de la trajectoire ;
• ${\displaystyle r_{s}^{2}=\left(x-x_{s}\right)^{2}+y^{2}+z^{2}}$ détermine la distance de tout point par rapport à la trajectoire ;

et :

• ${\displaystyle f}$ est une fonction régulière positive avec ${\displaystyle f(0)=1}$.

En utilisant le formalisme 3+1 (en) de la relativité générale, l'espace temps est décrit par une structuration en plans distincts de l'espace comme des hypersurfaces du temps de coordonnée constante ${\displaystyle t}$. La forme générale de la métrique d'Alcubierre devient alors[7] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(\alpha ^{2}-\beta _{i}\beta ^{i}\right)\,\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{i}\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} t+\gamma _{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} x^{j}}$

où

${\displaystyle \alpha }$ est la fonction d'écart (en) qui donne l'intervalle de temps propre entre les hypersurfaces à proximité,

${\displaystyle \beta ^{i}}$ est le décalage vectoriel qui donne les coordonnées spatiales sur différentes hypersurfaces et

${\displaystyle \gamma _{ij}}$ est une métrique définie positive sur chacune des hypersurfaces.

La forme particulière étudiée par Alcubierre considère les valeurs suivantes[7] :

${\displaystyle \alpha =1}$,

${\displaystyle \beta ^{x}=-v_{s}(t)f\left(r_{s}(t)\right)}$,

${\displaystyle \beta ^{y}=\beta ^{z}=0\,\!}$,

${\displaystyle \gamma _{ij}=\delta _{ij}\,\!}$

Ainsi, lorsque l'on considère que ${\displaystyle v_{s}(t)}$ ne varie que selon une dimension (${\displaystyle x}$), on obtient :

${\displaystyle v_{s}(t)={\frac {\mathrm {d} x_{s}(t)}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle r_{s}(t)={\sqrt {(x-x_{s}(t))^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$,

et

${\displaystyle f(r_{s})={\frac {\tanh(\sigma (r_{s}+R))-\tanh(\sigma (r_{s}-R))}{2\tanh(\sigma R)}},}$

en considérant ${\displaystyle R>0}$ et ${\displaystyle \sigma >0}$, on peut réécrire l'équation sous la forme :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(v_{s}(t)^{2}f(r_{s}(t))^{2}-1\right)\,\mathrm {d} t^{2}-2v_{s}(t)f(r_{s}(t))\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} t+\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$

Avec cette forme particulière de la métrique, on peut montrer que la densité d'énergie mesurée par un observateur dont la quadrivitesse est normale par rapport aux hypersurfaces est donnée par :

${\displaystyle -{\frac {c^{4}}{8\pi G}}{\frac {v_{s}^{2}(y^{2}+z^{2})}{4g^{2}r_{s}^{2}}}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r_{s}}}\right)^{2},}$

où ${\displaystyle g\!}$ est le déterminant du tenseur métrique.

Ainsi, étant donné que la densité d'énergie est négative, « on doit voyager plus rapidement que la lumière » selon Alcubierre[7], grâce à l'effet suscité par de la matière exotique, matière dont l'existence n'a pas encore été observée à ce jour.

Alcubierre a choisi une forme spécifique pour la fonction ${\displaystyle f}$, mais d'autres choix donnent une fonction d'espace-temps plus simple avec les effets attendus de commande de chaîne.

En 1999, Low a démontré que dans le contexte de la relativité générale, il est impossible de construire une « commande de chaîne » en l'absence de matière exotique[8]. Une théorie cohérente de la gravité quantique résoudra peut-être de telles applications.

Interféromètre White-Juday.

Une équipe de la NASA, menée par Harold G. White, a annoncé avoir construit un interféromètre qui pourrait, selon eux, détecter les distorsions spatiales causées par l'expansion et la contraction de l'espace et du temps prédites par la métrique d'Alcubierre[9]. Alcubierre a toutefois exprimé son scepticisme par rapport à celle-ci[10].