Méthode PN

Dans le cas d'un milieu stationnaire unidimensionnel en espace comportant émission, diffusion élastique (sans changement de fréquence) et absorption la propagation est décrite par l'équation équation intégro-différentielle linéaire suivante

${\displaystyle \mu {\frac {\mathrm {d} L(x,\mu )}{\mathrm {d} x}}+\kappa _{t}(x)L(x,\mu )=S(x,\mu )+2\pi \kappa _{d}\int _{-1}^{1}{\mathcal {P}}(\mu ,\mu ')L(x,\mu )\mathrm {d} \mu }$

où

${\displaystyle L(x,\mu )}$	luminance (spectrale ou intégrée),
${\displaystyle x}$	variable d'espace
${\displaystyle \mu =\cos(\theta )}$	donne la direction de propagation pour une fonction de phase supposée de révolution,
${\displaystyle \theta }$	angle de colatitude pour des coordonnées sphériques,
${\displaystyle \kappa _{t}(x)=\kappa _{a}(x)+\kappa _{d}(x)}$	coefficient d'extinction totale,
${\displaystyle \kappa _{a}(x)}$	coefficient d'absorption,
${\displaystyle \kappa _{d}(x)}$	coefficient d'extinction par diffusion,
${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mu ,\mu ')}$	fonction de phase (supposée entièrement définie par la déviation au cours d'une interaction),
${\displaystyle S(x,\mu )}$	fonction source volumique.

La base du développement choisie sera :

• en bidimentionnel des harmoniques sphériques,
• si la solution est à symétrie azimutale (cas traité ici) on choisit généralement des polynômes de Legendre notés P, quoique beaucoup d'autres choix soient possibles.

L'approximation d'Eddington a été obtenue indépendamment des travaux de James Jeans mais elle constitue en fait la méthode P₁. Cette approximation est due à Arthur Eddington[7]. En utilisant l'expression des deux premiers polynômes de Legendre et les quantités définies plus haut le développement s'écrit

${\displaystyle L(\mathbf {x} ,\nu )={\frac {1}{2}}\left[L_{0}(\mathbf {x} )+3\mu L_{1}(\mathbf {x} )\right]}$

D'où les quantités

${\displaystyle E={\frac {2\pi }{c}}L_{0}\,,\qquad M=\pi L_{1}\,,\qquad P={\frac {2\pi }{3c}}L_{0}={\frac {E}{3}}}$

Cette dernière expression constitue l'approximation d'Eddington.

Cette méthode constitue une simplification de la méthode P_N (S pour simplified) proposée par E. M. Gelbart de manière heuristique[8] et justifié ultérieurement par l'analyse asymptotique[9] ou par une approche variationnelle[10]. Dans cette méthode on omet la dérivée pour les valeurs paires de i, d'où

${\displaystyle L_{i}=-{\frac {1}{\kappa _{i}}}\left({\frac {i+1}{2i+1}}{\frac {\mathrm {d} L_{i+1}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {i}{2i+1}}{\frac {\mathrm {d} L_{i-1}}{\mathrm {d} x}}\right)}$

En rapportant cette expression dans le système P_N on obtient le système SP_N : pour i impair

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{3\kappa _{1}}}{\frac {\mathrm {d} L_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {2}{3\kappa _{1}}}{\frac {\mathrm {d} L_{2}}{\mathrm {d} x}}\right)&=&-\kappa _{a}S\\[0.6em]{\frac {i(i-1)}{(2i+1)(2i-1)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{\kappa _{i-1}}}{\frac {\mathrm {d} L_{i-2}}{\mathrm {d} x}}\right)+{\frac {(i+1)(i+2)}{(2i+1)(2i+3)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{\kappa _{i+1}}}{\frac {\mathrm {d} L_{i+2}}{\mathrm {d} x}}\right)&&\\[0.6em]+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\left({\frac {(i+1)^{2}}{(2i+1)(2i+3)\kappa _{i+1}}}+{\frac {i^{2}}{(2i+1)(2i-1)\kappa _{i-1}}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{i}}{\mathrm {d} x}}\right]-\kappa _{i}L_{i}&=&0\end{array}}}$

Il s'agit d'un système d'équations de type diffusion donc sans difficulté numérique. Le nombre d'équations a été réduit par un facteur 2.

Milieu homogène semi-infini ; exposants en fonction de N.

Supposons un milieu homogène semi-infini à diffusion isotrope. Le système P_N est alors le système linéaire suivant

${\displaystyle \left|{\begin{array}{ccccccc}0&{\frac {1}{\kappa _{a}}}&0&0&...&0\\[0.6em]{\frac {1}{3\kappa _{1}}}&0&{\frac {2}{3\kappa _{1}}}&0&...&0\\[0.6em]0&{\frac {2}{5\kappa _{2}}}&0&{\frac {3}{5\kappa _{2}}}&...&0\\[0.6em]0&0&{\frac {3}{7\kappa 4}}&0&...&0\\[0.6em]...&...&...&...&...&{\frac {N}{(2N+1)\kappa _{N}}}\\[0.6em]0&0&0&...&{\frac {N+1}{(2N+3)\kappa _{N}}}&0\end{array}}\right|\left|{\begin{array}{c}{\frac {\mathrm {d} L_{0}}{\mathrm {d} x}}\\[0.6em]{\frac {\mathrm {d} L_{1}}{\mathrm {d} x}}\\[0.6em]{\frac {\mathrm {d} L_{2}}{\mathrm {d} x}}\\[0.6em]...\\[0.6em]{\frac {\mathrm {d} L_{N-1}}{\mathrm {d} x}}\\[0.6em]{\frac {\mathrm {d} L_{N}}{\mathrm {d} x}}\end{array}}\right|=-\left|{\begin{array}{c}L_{0}\\[0.6em]L_{1}\\[0.6em]L_{2}\\[0.6em]...\\[0.6em]L_{N-1}\\[0.6em]L_{N}\end{array}}\right|+\left|{\begin{array}{c}S\\[0.6em]0\\[0.6em]0\\[0.6em]0\\[0.6em]0\\[0.6em]0\\[0.6em]0\end{array}}\right|}$

On suppose que N est impair : avec cette condition la matrice ci-dessus qui est diagonalisable a N + 1 valeurs propres réelles par paires de signe opposé, ce qui justifie le choix d'une valeur impaire. Sa solution se met sous la forme d'une solution générale du système homogène constitué de (N + 1) / 2 exponentielles négatives (les valeurs positives étant exclues pour obtenir une solution finie) et du terme constant S / κ_a constituant une solution particulière

${\displaystyle L_{i}={\frac {S}{\kappa _{a}}}+\sum _{1}^{\frac {N+1}{2}}\beta _{i}e^{-\gamma _{i}x}}$

La courbe donnant les valeurs de γ_i montre la convergence de la méthode avec l'ordre. Les faibles valeurs correspondantes aux termes variant le plus lentement convergent plus rapidement. D'une façon générale l'erreur varie comme N^-2[11].

• Méthode MN
• Méthode SN