Distribution angulaire

La sphère unité est une 3-sphère de rayon unitaire ou, en topologie, la variété topologique de dimension 2

${\displaystyle S^{2}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}\;:\;||x||=1\}}$

On la représente le plus souvent par un vecteur unitaire Ω dont la direction est donnée par les coordonnées sphériques (θ,Φ)

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\begin{pmatrix}\cos \phi \sin \theta \\\sin \phi \sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\,,\,\,0\leq \phi <2\pi \;,\;\;0\leq \theta <\pi }$

Dans cet espace on peut définir une distance géodésique ${\displaystyle d(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } ')=\arccos \,({\boldsymbol {\Omega }}\cdot {\boldsymbol {\Omega }}')}$.

La mesure de Lebesgue ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }$ est invariante par rotation. Sa masse vaut ${\displaystyle \int _{S^{2}}\mathrm {d} \Omega =4\pi }$[1].

Une définition alternative couramment utilisée est obtenue en posant ${\displaystyle \mu =\cos {\theta }}$. On a alors

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos {\phi }\\{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin {\phi }\\\mu \end{pmatrix}}\,,\quad \mathrm {d} \Omega =\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \phi }$

On peut être amené à restreindre l'espace à un hémisphère lorsque l'on étudie une condition aux limites mathématique ou physique (par exemple les propriétés d'une surface). Certains modèles d'approximation physique utilisent les octants (1/8^ème de la sphère). Enfin l'approximation numérique fait appel au découpage en N segments (δθ, δΦ) (par exemple la méthode S_N en transfert radiatif ou la segmentation de données statistiques).

On peut généraliser la théorie à une hypersphère[2].

• Un domaine important est celui de la propagation de particules. La distribution angulaire concerne dans ces cas le nombre de particules traversant une surface élémentaire dS pendant le temps dt dans l'angle solide dΩ autour de la direction Ω

${\displaystyle \mathrm {d} N=f(\mathbf {x} ,t,{\boldsymbol {\Omega }})\,v\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} S\,\mathrm {d} \Omega }$

où f est le nombre de particules par unité de volume et v leur vitesse.

Le vecteur correspondant à la densité de flux particulaire est donné par

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)=\int _{S^{2}}f(\mathbf {x} ,t,{\boldsymbol {\Omega }})\,{\boldsymbol {\Omega }}\,\mathrm {d} \Omega }$

Au lieu du nombre de particules on peut s'intéresser à la quantité qu'elles transportent. Par exemple dans le cas de l'énergie on aboutit à la notion de luminance en remplaçant f par e f où e est l'énergie transportée par chaque particule. La luminance est L = v e f et F est l'exitance. Cette quantité est très utilisée pour les photons (v = c) mais s'applique également au transport de nombreuses autres particules : neutrinos en physique nucléaire, neutrons en neutronique, électrons, particules alpha ou ions en physique médicale.

• Un exemple de distribution aléatoire concernant des particules est celui de la diffusion élastique d'une molécule par une autre molécule. Le problème se réduit à la seule connaissance de la déviation au cours de l'interaction. Ce problème complexe se simplifie lorsque les molécules sont à symétrie sphérique : le problème est alors un problème plan, tout comme la diffusion élastique d'un photon par une particule (diffusion Thomson ou Rayleigh).
• Lorsque la longueur d'onde associée au photon est du même ordre de grandeur que l'obstacle avec lequel l'onde interagit on observe un phénomène de diffraction caractérisé là aussi par la distribution angulaire de l'onde diffractée. Ce genre de phénomène conduit aux diagrammes de rayonnement pour les ondes électromagnétiques. On observe le même phénomène lorsque l'onde est une onde sonore.
• Le tenseur défini plus haut apparaît dans certaines méthodes de résolution du transfert radiatif portant sur la luminance. Il s'agit du tenseur de pression radiative, analogue du tenseur des contraintes des équation de Navier-Stokes que l'on peut obtenir par la méthode de Chapman-Enskog à partir de la fonction de distribution microscopique des vitesses v = v Ω.
• Ce qui précède constitue le domaine d'applications le plus vaste mais il existe d'autres application de la distribution angulaire, par exemple les points de contact d'un élément d'un milieu granulaire.