Loi de Skellam

La fonction de masse d'une loi de Poisson de paramètre μ est donnée par :

${\displaystyle f(n;\mu )={\mu ^{n} \over n!}\mathrm {e} ^{-\mu }}$

pour n ≥ 0 (et 0 sinon). La loi de Skellam est la corrélation croisée de deux lois de Poisson (Skellam, 1946) :

${\displaystyle f(k;\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(k\!+\!n;\mu _{1})f(n;\mu _{2})}$

${\displaystyle =\mathrm {e} ^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}.}$

Puisque la loi de Poisson est une loi sur les entiers positifs, tous les termes négatifs dans les factorielles de la somme précédente sont fixés à zéro. Ceci implique :

${\displaystyle {\frac {f(k;\mu _{1},\mu _{2})}{f(-k;\mu _{1},\mu _{2})}}=\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k}}$

ainsi :

${\displaystyle f(k;\mu _{1},\mu _{2})=\mathrm {e} ^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{|k|}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$

où I_k est la fonction de Bessel du première espèce. Le cas spécial où μ₁ = μ₂ (= μ) est étudié par Irwin (1937), la fonction de masse est alors :

${\displaystyle f(k;\mu ,\mu )=\mathrm {e} ^{-2\mu }I_{|k|}(2\mu ).}$

On peut également remarquer qu'en utilisant les valeurs limites des fonctions de Bessel, on peut retrouver la loi de Poisson comme cas spécial de la loi de Skellam pour μ₂ = 0.

En tant que probabilité, la fonction de masse est normalisée, c'est-à-dire : ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k;\mu _{1},\mu _{2})=1}$.

Puisque la fonction génératrice des probabilités de la loi de Poisson est : G(t ; μ) = e^{μ(t – 1)}, la fonction génératrice des probabilités de la loi de Skellam est alors donnée par :

${\displaystyle G(t;\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }f(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k}}$

${\displaystyle =G(t;\mu _{1})G(1/t;\mu _{2})\,}$

${\displaystyle =\mathrm {e} ^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.}$

Remarquons que la forme de la fonction génératrice implique que la loi des sommes des différences de variables aléatoires indépendantes de lois de Skellam est encore une loi de Skellam. Il est parfois dit que toute combinaison linéaire de deux variables aléatoires de loi de Skellam est encore de loi de Skellam. Cependant, ceci n'est valable que par multiplication par ±1, sinon le support de la loi en serait changé.

La fonction génératrice des moments de la loi de Skellam est donnée par :

${\displaystyle M(t;\mu _{1},\mu _{2})=G(\mathrm {e} ^{t};\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,m_{k}}$

ce qui donne les moments m_k. En définissant ${\displaystyle \Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{1}-\mu _{2}}$ et ${\displaystyle \mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\mu _{1}+\mu _{2})/2}$, les moments sont donnés par :

${\displaystyle m_{1}=\Delta \;,\;m_{2}=2\mu +\Delta ^{2}{\text{ et }}m_{3}=\Delta (1+6\mu +\Delta ^{2}).}$

Les moments par rapport à la moyenne sont donnés par :

${\displaystyle M_{2}=2\mu \;,\;M_{3}=\Delta {\text{ et }}M_{4}=2\mu +12\mu ^{2}.}$

L'espérance, la variance, l'asymétrie et le kurtosis sont donnés respectivement par :

${\displaystyle \mathbb {E} (n)=\Delta ,}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=2\mu ,}$

${\displaystyle \gamma _{1}=\Delta /(2\mu )^{3/2},}$

${\displaystyle \gamma _{2}=1/2\mu .}$

La fonction génératrice des cumulants est donnée par :

${\displaystyle K(t;\mu _{1},\mu _{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu _{1},\mu _{2}))=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,\kappa _{k}}$

qui donne les cumulants :

${\displaystyle \kappa _{2k}=2\mu {\text{ et }}\kappa _{2k+1}=\Delta .}$

Pour le cas particulier où μ₁ = μ₂, un développement asymptotique, pour μ grand, de la fonction de Bessel du première espèce donne (Abramowitz & Stegun 1972, p. 377) :

${\displaystyle f(k;\mu ,\mu )\sim {1 \over {\sqrt {4\pi \mu }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\{4k^{2}-1^{2}\}\{4k^{2}-3^{2}\}\cdots \{4k^{2}-(2n-1)^{2}\} \over n!\,2^{3n}\,(2\mu )^{n}}\right]}$

Pour ce cas particulier, lorsque k est grand d'ordre O(√2μ) la loi tend vers la loi normale :

${\displaystyle f(k;\mu ,\mu )\sim {\mathrm {e} ^{-k^{2}/4\mu } \over {\sqrt {4\pi \mu }}}.}$

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.) (1972) "Modified Bessel functions I and K". Sections 9.6–9.7 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing, p. 374-378. New York: Dover.
• Irwin, J. O. (1937) "The frequency distribution of the difference between two independent variates following the same Poisson distribution." Journal of the Royal Statistical Society: Series A, 100 (3), 415-416. JSTOR:2980526
• Karlis, D. and Ntzoufras, I. (2003) "Analysis of sports data using bivariate Poisson models". Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician), 52 (3), 381–393. doi:10.1111/1467-9884.00366
• Karlis D. and Ntzoufras I. (2006). Bayesian analysis of the differences of count data. Statistics in Medicine, 25, 1885-1905. DOI 10.1002/sim.2382
• Skellam, J. G. (1946) "The frequency distribution of the difference between two Poisson variates belonging to different populations". Journal of the Royal Statistical Society: Series A, 109 (3), 296. JSTOR:2981372