Loi binomiale négative étendue

Pour un entier naturel ${\displaystyle m\geq 1}$ et des paramètres réels ${\displaystyle 0\leq p<1}$ et ${\displaystyle -m<r<-m+1}$, la loi binomiale négative étendue est définie par sa fonction de masse :

${\displaystyle f(k;m,r,p)={\frac {{k+r-1 \choose k}q^{k}}{p^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}q^{j}}}~~~\forall k=m,m+1,\dots }$

où ${\displaystyle q=1-p}$ et

${\displaystyle {k+r-1 \choose k}={\frac {(k+r-1)_{k}}{k!}}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}=(-1)^{k}\,{-r \choose k}}$

est un coefficient binomial généralisé, ${\displaystyle \Gamma }$ étant la fonction gamma et ${\displaystyle (x)_{k}}$ désignant la factorielle décroissante.

En utilisant la représentation avec les coefficients binomiaux, la fonction génératrice des probabilités de la loi binomiale négative étendue est donnée par :

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{X}(t)&=\sum _{k=m}^{\infty }f(k;m,r,p)t^{k}\\&={\frac {(1-qt)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}(qt)^{j}}{p^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}q^{j}}}\qquad {\text{ pour }}|t|\leq {\frac {1}{q}}.\end{aligned}}}$

Pour le cas m = 1, et donc pour ${\displaystyle r\in \left]-1,0\right[}$, la fonction génératrice s'écrit

${\displaystyle G_{X}(t)={\frac {1-(1-qt)^{-r}}{1-p^{-r}}}\qquad {\text{ pour }}|t|\leq {\frac {1}{q}}.}$