Libellus de quinque corporibus regularibus

Les 44 pages de la première partie du Libellus (f1.r - f23v) sont consacrées à 57 exercices de géométrie plane (polygones, cercles, etc.) et le calcul de divers éléments en fonction de dimensions données. Fibonacci avait déjà fait ce travail et cette première partie du Libellus est un rappel et mise en bouche par Piero pour la suite, qui est le traitement de la géométrie en trois dimensions, un travail originel de Piero.

Piero passe en revue les méthodes utilisées par Fibonacci dans son Liber abaci pour l’arithmétisation de la géométrie plane, c'est-à-dire dans un langage moderne : calculer les coordonnées de chaque point ; calculer des aires, etc... numériquement. De ce point de vue on peut transformer les constructions euclidiennes en problèmes d'arithmétique, allant de la construction d'un pentagone avec règle et compas à une formule pour son aire en fonction de la longueur d'un côté.

Fibonacci et Piero sont très handicapés dans leurs démonstrations par un problème de notation. L'idée que l'on peut représenter un chiffre quelconque par un symbole ${\displaystyle x,a,Z}$ etc. et ensuite représenter les opérations d'arithmétique sur des chiffres par des opérations semblables sur les symboles et que le résultat final, une « formule » avec des symboles qui donne la valeur correcte quand on replace chaque symbole par une valeur numérique, n'est pas encore développée. Dans ses exercices, Piero utilise toujours des exemples avec des valeurs numériques bien spécifiques, mais sa méthode de résolution est toujours algorithmique : une série de règles et opérations de calcul à suivre pour obtenir le résultat. Le lecteur voit que s'il commence la série de calculs avec d'autres valeurs numériques il obtiendra toujours le résultat correspondant. On peut dire, sans trop d'exagération, que Piero formule ses exercices comme des programmes informatiques.

L'opération de base de Piero, et traitée dans le problème N°1, est la projection orthogonale d'un segment de ligne droite sur une autre ligne droite et est illustrée dans le cas d'un triangle ${\displaystyle ABC}$ dans la figure ci-contre. Si les côtés du triangle sont donnés numériquement et ${\displaystyle BD}$ est la hauteur du triangle par rapport à ${\displaystyle AC}$, Piero cherche à calculer la distance ${\displaystyle AD}$, la distance BD et l'aire du triangle ${\displaystyle ABC}$.

• ${\displaystyle AD}$ est la projection orthogonale de ${\displaystyle AB}$ sur ${\displaystyle AC}$ (${\displaystyle CD}$ la projection orthogonale de ${\displaystyle CB}$ sur ${\displaystyle AC}$) ;
• les valeurs numériques pour ${\displaystyle AD}$ et ${\displaystyle BD}$ sont les coordonnées cartésiennes du point ${\displaystyle B}$ ;
• l'aire du triangle est égale à la longueur ${\displaystyle AC}$ multipliée par la longueur ${\displaystyle BD}$, le tout divisé par deux.

Tous les algorithmes de Piero sont basés sur l'utilisation très habile du théorème de Pythagore et la projection orthogonale. Pour le lecteur qui désire suivre le raisonnement de Piero, les détails sont exposés dans les boîtes déroulantes ci-dessous (avec une notation symbolique, pour faciliter l'exposé.

Projection orthogonale, altitude et aire d'un triangle - la formule de Héron

D'abord un rappel du théorème de Pythagore : pour un triangle rectangle, de côtés de longueurs ${\displaystyle a,b,c,}$ on a ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Démonstration visuelle du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore affirme que dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés (en symboles ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$) :

Il n'est pas de tout évident que c'est vrai !

Démonstration :

Si on place quatre copies du triangle dans un cadre de côté ${\displaystyle (a+b)}$ sans chevauchement, alors l'aire du cadre qui n'est pas couvert par les quatre triangles est toujours la même pour chaque placement des triangles.

Considérons les deux façons de placer les quatre copies des triangles :

Donc, l'aire du carré sur l'hypoténuse (partie bleue du cadre non couvert dans la première configuration) est égale à la somme des aires des carrés sur les deux autres côtés (les aires jaune et verte, la partie du cadre non couvert dans la deuxième configuration) : le théorème de Pythagore.

Étant donnés les côtés ${\displaystyle a,b,c}$ d'un triangle général, la formule basique de Piero pour la projection orthogonale est : ${\displaystyle x={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b}}}$.

La démonstration, suivant les règles de Piero, mais en utilisant des symboles est une double application du théorème de Pythagore :

Applique Pythagore au triangle rectangle ${\displaystyle ABD}$ : ${\displaystyle x^{2}=c^{2}-h^{2}}$

Applique Pythagore au triangle rectangle ${\displaystyle CDB}$ : ${\displaystyle h^{2}=a^{2}-(b-x)^{2}}$

Par substitution de ${\displaystyle h^{2}}$ : ${\displaystyle x^{2}=c^{2}-a^{2}+(b-x)^{2}=c^{2}-a^{2}+b^{2}-2bx+x^{2}}$

Donc, ${\displaystyle 2bx=c^{2}+b^{2}-a^{2}}$ ou ${\displaystyle x={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b}}}$.

La hauteur ${\displaystyle h}$ du triangle ${\displaystyle ABC}$ est donnée par le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle ${\displaystyle ABD}$ : ${\displaystyle h^{2}=c^{2}-x^{2}}$

Si on pousse la représentation symbolique des règles de Piero un peu plus loin on obtient la célèbre formule de Héron qui donne l'aire d'un triangle en fonction des longueurs des côtés :

La formule de Héron

Calculer ${\displaystyle h}$ utilisant le triangle rectangle BDC :

${\displaystyle h^{2}=a^{2}-\left(b-{\frac {c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2b}}\right)^{2}=a^{2}-\left({\frac {2b^{2}-c^{2}-b^{2}+a^{2}}{2b}}\right)^{2}=a^{2}-\left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2b}}\right)^{2}}$

Pour simplifier l'expression algébrique, on applique l'identité remarquable : ${\displaystyle X^{2}-Y^{2}=(X-Y)(X+Y)}$

${\displaystyle h^{2}=\left(a-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2b}}\right)\left(a+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2b}}\right)=\left({\frac {2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2b}}\right)\left({\frac {2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2b}}\right)=\left({\frac {c^{2}-(a-b)^{2}}{2b}}\right)\left({\frac {(a+b)^{2}-c^{2}}{2b}}\right)}$

Appliquons l'identité remarquable encore deux fois :

${\displaystyle h^{2}={\frac {(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{4b^{2}}}}$

Il est de coutume de noter ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$, c'est-à-dire s = la moitié du périmètre du triangle. On obtient :

${\displaystyle h^{2}={\frac {(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)2S}{4b^{2}}}={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{b^{2}}}}$

L'aire, ${\displaystyle A}$ du triangle est :

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}hb}$, donc ${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$, la célèbre formule de Héron.

Il existe cinq, et seulement cinq, polyèdres convexes avec chaque face la même polygone régulier et à chaque vertex le même nombre d'arêtes : les polyèdres de Platon, les quinque corporibus regularibus du titre de l’œuvre. Les sommets de chaque polyèdre de Platon se situent sur la surface d'une sphère.

Ce livre (codex f24r - 37v) contient 37 problèmes. Piero calcule aires et volumes à partir des longueurs des arêtes des polyèdres, rayons des sphères qui les circonscrivent, etc. Le problème 37 est un problème « inverse » : le volume est connu, il faut calculer la longueur d'un arête :

Problème 37 (f.37.r) : Étant donné un icosaèdre de volume 400 brachia (sic), quelle est la longueur d'une arête ?

Le résultat donné par Piero après une page de calcul, aidé par un dessin de l'icosaèdre, est ${\displaystyle (8064000-{\sqrt {59719680000}})^{\frac {1}{6}}}$ brachia.

Il est évident qu'un tel calcul n'est utile ni à un marchand, ni à un artiste. Si Piero le fait c'est pour d'autres raisons. La solution demande la résolution d'une équation cubique et Piero avait consacré une partie du Trattato d'abaco à ses tentatives de trouver des racines d'équations des troisième, quatrième et cinquième degrés. Piero n'avait pas réussi en général, mais dans ce cas particulier ses méthodes mènent à la solution (le problème de trouver les racines d'une équation cubique ou d'une équation quartique était résolu par Tartaglia et Ferrari au XVI^e siècle et pour les équations de degré cinq par Niels Abel et Évariste Galois au XIX^e siècle).

Logiquement le problème suivant n'a pas sa place dans ce livre, car il traite d'un tétraèdre général, pas le tétraèdre régulier. Mais, Piero était probablement très fier de son résultat, car c'est, au fond, le généralisation en trois dimensions de la formule de Héron d'Alexandrie qui donne l'aire d'un triangle en fonction des longueurs des côtés. Piero avait déjà publié le problème dans le Trattato d'abaco, mais sans la démonstration.

Problème 11 : Trouver la hauteur d'un tétraèdre général étant données les longueurs des côtés.

Le résultat est nouveau et combiné avec le fait, connu depuis Archimède, que le volume d'un tétraèdre général est égal au produit de la hauteur et l'aire de sa base divisé par trois, donne une formule pour le volume d'un tétraèdre en fonction des côtés.

L'idée de base de Piero est la suivante : à partir d'un tétraèdre général on peut construire un triangle qui a la même hauteur que le tétraèdre et dont on connait les longueurs des trois côtés et donc on peut calculer la hauteur.

Comment construire ce triangle ? La solution de Piero est ingénieuse et le lecteur est invité à la retrouver lui-même avant d'apprécier la construction de Piero, qui utilise uniquement le théorème de Pythagore et la projection orthogonale.

Ce résultat originel de Piero fut publié dans le plagiat du Trattato d'abaco par Luca Pacioli dans son Summa Aritheticaen 1494 (mais sans la démonstration) puis dans son plagiat du Libellus dans son Divina Proportione en 1509, avec la démonstration de Piero. Cependant, la formule correspondante n'a jamais été très bien connue, car au XIX^e siècle J.J. Sylvester en 1852, dans un article[9] où il étudiait des problèmes semblables il posait la question dans une 'Note' en bas de page : Quaere : Is not this expression for the volume of a pyramid in terms of its sides to be found in some previous writer? It can hardly have escaped inquiry.

Le but de cette partie du Libellus (codex f38.r - f49.r, qui comporte 29 problèmes) est l'arithmétisation d'Euclide, XV, qui trait les rapports des polyèdres de Platon entre eux. Piero traite les propositions d'Euclide et ajoute quelques découvertes qu'il a faites lui-même.

Piero commence ce livre en reprenant des propositions d'Euclide, XV.

Le premier problème est apparemment banal.

Problème 1 : Trouver le côté de l’octaèdre inscrit dans le tétraèdre de côté 12. (Les six sommets de l'octaèdre sont placés au milieu des six arêtes du tétraèdre). Le résultat est 6 et simple à trouver.

La solution de Piero est très longue et complexe, il utilise toutes les techniques à sa disposition; il fait des projections orthogonales peu évidentes, cherche des triangles similaires bien cachés, doit reconnaître que ${\displaystyle {\sqrt {108}}-{\sqrt {12}}={\sqrt {48}}}$ et il laisse le résultat comme ${\displaystyle {\sqrt {36}}}$ !

On peut se demander pourquoi Piero a choisi de donner une solution si complexe à son premier problème quand il savait qu'il existait des méthodes de solution très simples ? Il ne le fait plus jamais par la suite.

Il est possible que Piero était troublé par une question de philosophie mathématique : à savoir si l'arithmétique était assez complète et puissante pour décrire toutes les constructions géométriques d'Euclide et qui ne donnait pas des réponses contradictoires. Piero semble vouloir tester l'arithmétique en choisissant des chemins vers la solution qui sont longs et tortueux pour voir s'il obtient toujours la même solution numérique. Ce problème philosophique fut clarifié seulement au XX^e siècle avec les travaux de David Hilbert, Kurt Gödel et Alan Turing.

Problème 2 : Un tétraèdre inscrit dans un cube : on place les six sommets du tétraèdre au milieu des six arêtes du cube (Euclide XV, 1).

Problème 3 : Si un octaèdre est inscrit dans un cube de côté 12, quelle est la longueur d'un arête de l'octaèdre ?

Cependant, Piero va plus loin qu'Euclide et découvre des nouvelles relations entre les solides de Platon.

Problème 4 : Inscription d'un icosaèdre dans un cube. On peut orienter un icosaèdre tel que chaque face du cube contient deux sommets de l'icosaèdre. Cette relation entre un cube et un icosaèdre n'est pas décrite par Euclide, elle était une découverte nouvelle de Piero et a marqué le début de la fascination de la Renaissance pour la géométrie des polyèdres.

Problème 5 : Inscription d'un cube dans un octaèdre. Une inscription évidente est que les huit sommets du cube sont les centres des huit faces de l'octaèdre. Piero propose une autre façon, nettement moins évidente : les huit sommets du cube sont les milieux de huit des douze arêtes de l'octaèdre. Malheureusement, le dessin de Piero (ci-dessous), est un peu effacé. Avec ce mode d'inscription on peut inscrire deux autres cubes dans l'octaèdre. Si on le fait, puis on efface l'octaèdre on obtient le Composé de trois cubes (en). Au lieu de voir un cube inscrit dans un octaèdre, on peut voir un octaèdre circonscrit autour d'un cube et, comme précédemment, on peut circonscrire deux autres octaèdres autour du cube. Puis, si on efface le cube on obtient le Composé de trois octaèdres (en). Piero ne dessine pas les polyèdres composés dans le Libellus.

• 
  Libellus (f.41.r)
• 
  Cube inscrit dans octaèdre
• 
  Composé de trois cubes
• 
  Composé de trois octaèdres

Les polyèdres composés sont redécouverts au début du XX^e siècle et utilisés par l'artiste M.C. Escher dans plusieurs gravures.

Problème 9 : Piero étudie un octaèdre inscrit dans un dodécaèdre (Euclide XV, 9) et fait ses calculs habituels. Mais il va plus loin qu'Euclide et découvre un théorème géométrique qu'Euclide aurait pu démontrer, mais il n'a pas fait.

Le diamètre de la sphère qui circonscrit l'octaèdre est égal à la longueur d'un arête + la longueur d'une corde d'une face pentagonale.

Piero donne une démonstration par computation.

Le but principal de cette partie du Libellus (codex f49v - f68.r, qui comporte 17 problèmes) est l'étude des solides « semi-réguliers » (c'est-à-dire des polyèdres dont chaque face est un polygone régulier, mais pas forcément le même) que l'on peut construire à partir des solides de Platon. Piero les obtient par troncation de chacun des 5 solides. Il décrit 6 solides, car il trouve deux troncations différentes pour l'octaèdre.

Son dessin du tétraèdre tronqué montre très explicitement comment il enlève des pyramides.

Ces polyèdres (et sept autres non dérivables des solides de Platon) ont été découverts par Archimède et décrits dans un livre aujourd'hui perdu, mais son contenu nous est connu par des écrits de Pappus d'Alexandrie. Piero est le premier à les redécouvrir et à les décrire explicitement. Ensuite Kepler a fait une étude systématique et les nomme solides d'Archimède. La contribution de Piero passe pour la postérité, une fois de plus, par le plagiat de Pacioli (et les dessins remarquables de Leonardo da Vinci utilisés par Pacioli).

Dans son texte Piero ne s'attarde pas sur la construction de ces polyèdres, mais passe rapidement aux calculs d'aires, volumes, etc.

• 
  Tétraèdre tronqué
• 
  Cube tronqué
• 
  Cuboctaèdre
• 
  Octaèdre tronqué
• 
  Dodécaèdre tronqué
• 
  Icosaèdre tronqué

Encore des problèmes qui, logiquement, n'ont pas leur place dans ce livre. Problèmes 10 et 11 (f.59.v - f.61.v) marquent un niveau de sophistication mathématique nettement supérieur aux autres problèmes du Libellus :

Problèmes 10 et 11 : Calculer le volume et la surface d'un voûte d'arêtes (l'intersection de deux voûtes en berceau qui sont perpendiculaires), un type de voûte très utilisé dans l'architecture depuis l'Antiquité.

Piero s'est déjà préoccupé de la représentation architecturale d'une telle voûte dans De Prospectiva pingendi. Maintenant il passe à sa représentation mathématique et le calcul habituel de volume et aire.

La description géométrique de l'objet en question est : la partie commune de l'intersection perpendiculaire de deux cylindres circulaires de même diamètre. Les solutions des problèmes 10 et 11 montrent comment calculer le volume et la surface de cet objet.

Aujourd'hui ces problèmes seraient traités comme exercices dans le calcul intégral, mais au XV^e siècle le calcul intégral n'avait pas été encore découvert.

La solution de Piero montre à quel point il a assimilé et a maîtrisé les méthodes d'Archimède. Car Archimède avait considéré (et résolu) ce même problème. Piero ne pouvait pas connaître ce travail, car la méthode de solution d'Archimède était exposée dans une lettre qu'il a écrite à son ami Ératosthène. Cette lettre et d'autres écrits d'Archimède ont été conservés jusqu'au X^e siècle, puis le parchemin a été gratté, pour effacer le texte originel, et réutilisé pour écrire un livre de prières. Ce codex était conservé à Constantinople et redécouvert en 1906. Le texte originel a été (heureusement) mal effacé et on pouvait, avec l'aide de lumière ultra-violette, lire Archimède encore. Le codex est connu maintenant comme le Palimpseste d'Archimède[10]).

La partie du codex où Archimède donne la solution (le volume de l'objet est égal à deux tiers du volume du cube qui le circonscrit) de ce problème, De la méthode, est le seul exemplaire connu de ce traité et il est très improbable que Piero pouvait en avoir eu connaissance. Par contre, il ne faut pas oublier que Piero était imprégné par les œuvres d'Archimède (il avait fait une copie et l'illustrait avec ses propres figures) et il avait montré à plusieurs reprises qu'il était capable de redécouvrir des résultats d'Archimède. C'est certainement le cas ici, car sa méthode de solution du problème 10 diffère légèrement de celle d'Archimède et pour le problème 11, qui demande l'aire de l'objet, la question n'est pas traitée par Archimède et Piero donne la bonne solution !

Problème 17 : Cet exercice semble, à première vue, totalement incongru par rapport à l'esprit du traité. Piero avait développé des méthodes pour le calcul du volume de solides plus en plus compliqués et à la fin du traité, pour calculer le volume d'un solide très complexe il propose de construire un bain rectangulaire, plein d'eau, puis de mesurer le changement de niveau quand on plonge le solide dans l'eau pour calculer le volume !

Si on fait une interprétation naïve, c'est une méthode pratique (et approximative) pour mesurer le volume d'un objet. Mais si cette méthode suffit, pourquoi tous les calculs précédents ?

Piero n'avait pas l'esprit naïf, ses œuvres mathématiques, plein de subtilités et originalités, sont parfois laconiques et il n'exprime pas sa pensée profonde (comme pour le Problème 1 de la partie II). Hormis la légende qui associe Archimède avec un bain d'eau pour déterminer le volume d'une couronne d'or, le bain d'eau peut faire partie d'une « expérience de pensée ».

Si un objet a une forme si complexe que l'on ne peut pas le découper en morceaux simples, dont on peut calculer le volume, peut-on affirmer que l'objet a un volume ? Piero savait que les « nombres » ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ et ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ne pouvaient pas être représentés par des nombres rationnels, mais qu'ils « existent », car ils ont des représentions géométriques. Le changement de niveau de l'eau quand on plonge un corps de forme complexe est également une représentation numérique de l'existence du volume.

Le bain est aussi une illustration de la méthode utilisée dans le problème 10 : quand l'objet descend petit à petit dans l'eau, le niveau monte petit à petit et le volume d'eau qui est déplacé correspond au volume d'une fine tranche de l'objet. Le volume est la somme des volumes de ses fines tranches.