Lemme d'Auerbach

Toute base ayant cette propriété est appelée base d'Auerbach normée.

Si V est un espace euclidien ou hermitien, ce résultat est évident car on peut prendre pour (e_i) une base orthonormale de V (la base duale est alors constituée des formes linéaires (e_i|·)).

Considérons l'application qui à tout n-uplet de vecteurs de V associe le module de son déterminant dans une base fixée. Sur la puissance n-ième de la sphère unité, qui est compacte, cette application continue admet un maximum M, obtenu pour un certain n-uplet (e₁, …, e_n), qui est une base puisque M est non nul. Les formes linéaires eⁱ de la base duale sont de norme au moins 1 puisque eⁱ(e_i) = 1. Mais elles sont aussi de norme au plus 1 : montrons-le par exemple pour la forme e¹. Pour tout vecteur unitaire ${\displaystyle v}$, on a :

${\displaystyle M\geq |D(v,e_{2},\ldots ,e_{n})|=|D(\sum _{i=1}^{n}e^{i}(v)e_{i},e_{2},\ldots ,e_{n})|=|\sum _{i=1}^{n}e^{i}(v)D(e_{i},e_{2},\ldots ,e_{n})|=|e^{1}(v)D(e_{1},\ldots ,e_{n})|=|e^{1}(v)|M}$

et comme M est strictement positif, on en déduit bien :

${\displaystyle |e^{1}(v)|\leq 1.}$

Le lemme a un corollaire qui a des applications à la théorie de l'approximation.

Ce résultat est loin d'être optimal : Kadec et Snobar[1] ont prouvé qu'il existait même une projection de norme inférieure ou égale à √n, puis König et Tomczak-Jaegermann[2] ont affiné cette majoration.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Auerbach's lemma » (voir la liste des auteurs).
• (en) Joseph Diestel, Hans Jarchow, Andrew Tonge, Absolutely Summing Operators, p. 146