Instabilité de Taylor-Couette

En mécanique des fluides, l’instabilité de Taylor-Couette est l'apparition de tourbillons dans l'écoulement d'un fluide entre deux cylindres concentriques ne tournant pas à la même vitesse angulaire. Elle consiste en la déstabilisation de l'écoulement de Couette circulaire en une série de rouleaux de Taylor quand la vitesse angulaire dépasse un certain seuil. Elle a été initialement étudiée par Sir Geoffrey Ingram Taylor dans un papier de 1923[1], d'où son nom.

Dispositif de Taylor-Couette.

Origine de l'instabilité

Le fluide dans le système est mis en mouvement par les parois du fait de la condition de non-glissement. Les instabilités dans l'écoulement de Taylor-Couette résultent de la compétition de deux effets antagonistes :

l'inertie du fluide en mouvement, notamment la force centrifuge créée par la rotation (qui a un effet déstabilisant, a tendance à faire croître les instabilités) ;
la viscosité du fluide (qui a un effet stabilisant, a tendance à gommer les instabilités).

Ainsi, l'état de l'écoulement peut être prédit par le nombre de Taylor $Ta$ qui compare ces deux quantités. Ce nombre est directement relié au nombre de Reynolds $Re$ .

Critère de Rayleigh

La stabilité de l'écoulement dans le cas d'un fluide non visqueux a été étudiée par Lord Rayleigh dans une publication de 1916[2]. Le critère obtenu est le suivant :

L'écoulement d'un fluide non visqueux en rotation est stable si et seulement si la quantité $(rv_{\theta })^{2}$ (où $r$ est la distance à l'axe et $v_{\theta }$ est la vitesse azimutale) est croissante en fonction de $r$ .

Différents comportements

Rouleaux de Taylor pour un Reynolds de Re=950

Les étapes ci-dessous décrivent le comportement du système pour un fluide visqueux quand la vitesse de rotation du cylindre intérieur augmente et dans l'hypothèse où le cylindre extérieur est fixe. De nombreuses autres configurations ont été étudiées à la fois pour des cylindres tournant dans la même direction et pour des cylindres tournant dans des directions opposées[3].

Écoulement laminaire

Pour un nombre de Taylor inférieur à une valeur critique $Ta<Ta_{c}$ , l'écoulement est laminaire, les lignes de courant sont des cercles concentriques. Il est appelé écoulement de Couette circulaire. La viscosité domine la force centrifuge et l'écoulement est stable.

On retrouve le principe de Curie : les effets ont au moins les symétries des causes. L'écoulement créé entre les deux cylindres est invariant par rotation autour de l'axe.

Première instabilité : rouleaux de Taylor

Lorsque la vitesse de rotation augmente au point que $Ta>Ta_{c}$ , les effets de la force centrifuge surpassent la viscosité et une première instabilité se produit. Celle-ci consiste en l'apparition de rouleaux dans l'écoulement qui sont des tourbillons toroïdaux, aussi appelés rouleaux de Taylor.

Ce nouvel écoulement est l'écoulement de Taylor-Couette. Il est stable jusqu'à la prochaine instabilité.

On perd de la symétrie dans l'écoulement et le principe de Curie est violé. La vitesse radiale dans l'écoulement a un comportement périodique selon l'axe du cylindre que l'on ne retrouve pas dans le système qui créé l'écoulement.

Deuxième instabilité : comportement oscillant

Une deuxième instabilité apparaît quand la vitesse de rotation, et de fait le nombre de Reynolds, continue à augmenter. Les rouleaux, jusqu'alors stationnaires, se mettent à osciller périodiquement. Ce régime est qualifié de rouleaux de Taylor oscillants [4] (ou Wavy Vortex Flow en anglais[3]).

Ceci diminue encore la symétrie de l'écoulement.

Instabilités suivantes et transition vers la turbulence

Si le nombre de Reynolds continue à augmenter, l'écoulement passe par plusieurs instabilités successives avant de devenir turbulent.

Jusqu'aux années 1970, on a cru que la transition vers la turbulence passait par une séquence infinie d'instabilités successives. Harry Swinney et Jerry Gollub ont montré grâce à des expériences réalisées à l'université de Princeton en 1975 que la transition se fait en un nombre fini d'étapes[5].

Notes et références

Taylor Geoffrey Ingram, « VIII. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders », Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, vol. 223, n^os 605-615,‎ 1^er janvier 1923, p. 289–343 (DOI 10.1098/rsta.1923.0008, lire en ligne, consulté le 16 avril 2019)
Strutt John William, « On the dynamics of revolving fluids », Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, vol. 93, n^o 648,‎ 1^er mars 1917, p. 148–154 (DOI 10.1098/rspa.1917.0010, lire en ligne, consulté le 27 mai 2019)
(en) C. David Andereck, S. S. Liu et Harry L. Swinney, « Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders », Journal of Fluid Mechanics, vol. 164, n^o -1,‎ mars 1986, p. 155 (ISSN 0022-1120 et 1469-7645, DOI 10.1017/S0022112086002513, lire en ligne, consulté le 24 avril 2019)
GASSA-FEUGAING, Martial C., CRUMEYROLLE, Olivier et MUTABAZI, Innocent, « Etude expérimentale de l'écoulement de Couette-Taylor avec modulation de fréquence », Congrès français de mécanique,‎ 2011 (ISSN 2491-715X, lire en ligne, consulté le 4 juin 2019)
(en) J. P. Gollub et Harry L. Swinney, « Onset of Turbulence in a Rotating Fluid », Physical Review Letters, vol. 35, n^o 14,‎ 6 octobre 1975, p. 927–930 (ISSN 0031-9007, DOI 10.1103/PhysRevLett.35.927, lire en ligne, consulté le 24 avril 2019)

Bibliographie

(en) Richard Lueptow, « Scholarpedia : Taylor-Couette flow »
La Théorie du Chaos - J. Gleik
Mécanique des Fluides - M. Fermigier
[PDF] Instabilité de Taylor-Couette

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