Instabilité électrothermique

Dans un gaz ionisé hors d’équilibre, en régime d’effet Hall fort, la loi d'Ohm :

${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$

où la conductivité électrique σ s’écrit sous une forme matricielle :

${\displaystyle \sigma =\sigma _{s}{\begin{Vmatrix}{\dfrac {1}{1+\beta ^{2}}}&{\dfrac {-\beta }{1+\beta ^{2}}}\\{\dfrac {\beta }{1+\beta ^{2}}}&{\dfrac {1}{1+\beta ^{2}}}\end{Vmatrix}}}$

où σ_S est la conductivité électrique scalaire. (en siemens par mètre),

${\displaystyle \sigma _{s}={\frac {n_{e}\ e^{2}}{m_{e}\ \nu }}}$

et où n_e est la densité électronique (nombre d'électrons par mètre cube).

La densité de courant J possède lors deux composantes, l’une parallèle au champ électrique et l’autre lui étant perpendiculaire :

${\displaystyle J_{\parallel }={\frac {n_{e}\ e^{2}}{m_{e}\ \nu }}\ {\frac {E}{1+\beta ^{2}}}\qquad {\text{et}}\qquad J_{\perp }={\frac {-n_{e}\ e^{2}}{m_{e}\ \nu }}\ {\frac {\beta \ E}{1+\beta ^{2}}}}$

D'où

${\displaystyle J_{\perp }=J_{\parallel }\ \beta }$

L'effet Hall fait que, dans le plasma, les électrons cheminent « en crabe » (par rapport à la direction du champ électrique).

Lorsque le champ magnétique B est élevé, le paramètre de Hall β l’est aussi, et ${\displaystyle {\frac {1}{1+\beta ^{2}}}\ll 1}$

Ainsi les deux conductivités ${\displaystyle \sigma _{\parallel }\approx {\frac {\sigma _{s}}{\beta ^{2}}}\qquad {\text{et}}\qquad \sigma _{\perp }\approx {\frac {\sigma _{s}}{\beta }}}$

deviennent faibles. De ce fait, le courant a tendance à s’établir, en régime de paramètre de Hall élevé, en dehors des régions soumises à un champ magnétique élevé.

L'instabilité électrothermique se manifeste dans un plasma bitempérature (T_e > T_g), hors d’équilibre thermodynamique, lorsque le paramètre Hall est supérieur à sa valeur critique β_cr.

Nous avons

${\displaystyle f={\frac {\left({\frac {\delta \mu }{\mu }}\right)}{\left({\frac {\delta n_{e}}{n_{e}}}\right)}}}$

où μ est la mobilité électronique (en m²/(V s))

et

${\displaystyle s={\frac {2\ k\ T_{e}^{2}}{E_{i}\;(T_{e}-T_{g})}}\times {\frac {1}{1+{\dfrac {3}{2}}\ {\dfrac {k\;T_{e}}{E_{i}}}}}}$

où E_i est l'énergie d'ionisation et k la constante de Boltzmann.

Le taux de croissance de l'instabilité est

${\displaystyle g={\frac {\sigma \ E^{2}}{n_{e}\;\left(E_{i}+{\frac {3}{2}}k\;T_{e}\right)\;\left(1+\beta ^{2}\right)}}\;(\beta -\beta _{cr})}$

et la valeur critique du paramètre de Hall est

${\displaystyle \beta _{cr}=1{,}935f+0{,}065+s~}$

La façon dont le paramètre critique de Hall β_cr varie avec le degré d'ionisation α :

${\displaystyle \alpha ={\frac {n_{i}}{n_{n}}}}$

où n_i est la densité ionique et n_n la densité de particules neutres (en nombre de particules par mètre cube) dépend du régime considéré. La section efficace de collision électron-ions Q_ei (collisions dites coulombiennes, correspondant à des forces à grand rayon d’action) est beaucoup plus élevée que la section efficace de collision associée aux collisions électron-particules neutres Q_en, et cela de plusieurs ordres de grandeur.

Ainsi, même avec un degré d'ionisation α faible, la fréquence de collision électron-ions ν_ei peut égaler celles de collisions électron-neutres ν_en, voire lui être supérieure. Comme la densité électronique, et par delà la densité ionique varient très vite avec la température électronique, on distinguera deux régimes.

• On dira qu’un gaz est faiblement ionisé (appelé aussi non-coulombien), quand la fréquence de collision électron-ions est faible devant la fréquence de collision électron-neutres, c’est-à-dire quand :

ν_ei < ν_en

Alors la valeur du paramètre de Hall critique s’écrira :

${\displaystyle \beta _{cr}\approx (s^{2}+2s)^{\frac {1}{2}}}$

• Lorsque la fréquence de collision électron-ions domine, c’est-à-dire que

ν_ei > ν_en

On dira que le plasma est en régime coulombien. Les Anglo-Saxons emploient la dénomination fully ionized gas, introduite par Lyman Spitzer, ou « plasma totalement ionisé », qui prête quelque peu à confusion mais est devenue l’expression consacrée. En effet, un plasma peut mériter ce qualificatif alors que le taux d’ionisation est de l’ordre de un pour cent. Dans ce régime coulombien la valeur critique du paramètre de Hall s’écrit alors :

${\displaystyle \beta _{cr}\approx (2+s)}$

s étant faible, cette valeur est très proche de 2.

NB : En régime intermédiaire, la dénomination anglo-saxonne est partially ionized gaz, « plasma partiellement ionisé ».

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• M. Mitchner, C.H. Kruger Jr., « Two-temperature ionization instability »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)}, chapitre 4 (MHD) - Section 10, p. 230–241. From the plasma physics course book « Partially Ionized Gases »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)} (consulté le 30 mars 2013), John Wiley & Sons, 1973 (reprint 1992), Mechanical Engineering Department, université Stanford, CA, États-Unis. (ISBN 0-471-61172-7)