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Inclusion fonctionnelle

Une inclusion fonctionnelle est un problème de la forme

est une fonction entre les deux espaces vectoriels et et est une multifonction entre les mêmes espaces. Ce type de problème est aussi appelé équation généralisée. Il signifie que l'on cherche un point tel que l'ensemble contienne l'élément nul de ou encore tel que l'ensemble contienne . Si , on cherche à résoudre une «simple» équation . On pourrait bien sûr enlever la fonction du modèle, car est une multifonction qui peut être prise en compte par , mais certains problèmes d'inclusion ont une partie fonctionnelle comme ici, que certains résultats (comme le théorème des fonctions implicites, ci-dessous) ou certains algorithmes de résolution (comme l'algorithme de Josephy-Newton) exploitent, en utilisant la possibilité de dériver .

Ce modèle de problème est suffisamment général pour englober les problèmes variationnels, les problèmes d'inéquation variationnelle, les problèmes de complémentarité et les conditions d'optimalité du premier ordre des problèmes d'optimisation.

Lorsque est différentiable et que certaines propriétés de régularité ont lieu, ce problème peut être résolu numériquement par diverses techniques, notamment l'algorithme de Josephy-Newton.

Exemples d'inclusions fonctionnelles

Problème variationnel

Un problème variationnel est une inclusion fonctionnelle de la forme , dans laquelle et la multifonction est le cône normal à un ensemble fermé non vide (la notation vient de là). Le problème s'écrit et s'interprète comme ci-dessous :

Avec la convention si , on cherche donc un point tel que soit dans le cône normal à en .

Problème d'inéquation variationnelle

Un problème d'inéquation variationnelle est un problème variationnel dans lequel l'ensemble est un convexe fermé non vide . Alors le problème variationnel s'exprime par ou encore

Problème de complémentarité

Un problème de complémentarité est un problème d'inéquation variationnelle dans lequel l'ensemble est un cône convexe fermé non vide . Alors en prenant et comme élément-test dans , on voit que le problème se récrit comme suit

est le cône dual de . Ce problème requiert que trois conditions soient satisfaites, à savoir , et .

Contrainte abstraite

La condition d'optimalité nécessaire du premier ordre de Peano-Kantorovitch est un problème variationnel de la forme , dans lequel est le gradient d'une fonction .

Contrainte d'inclusion fonctionnelle

Considérons le problème d'optimisation général suivant

dans lequel le critère est défini sur un espace euclidien , est une fonction à valeurs dans l'espace euclidien et est un convexe fermé non vide de .

Son système d'optimalité du premier ordre peut également s'exprimer comme un problème d'inclusion fonctionnelle de la forme avec ,

Lorsque est un cône convexe fermé, le système d'optimalité du premier ordre de peut également s'exprimer comme un problème de complémentarité de la forme avec ,

Contraintes d'égalité et d'inégalité

Le système d'optimalité du premier ordre de Karush, Kuhn et Tucker du problème peut également s'exprimer comme un problème de complémentarité non linéaire de la forme avec , :

L'appartenance de à exprime la positivité de . L'appartenance de à exprime la nullité du gradient du lagrangien et l'admissibilité de . Enfin l'orthogonalité entre et exprime la complémentarité.

Système d'égalités et d'inégalités

Lorsque est la multifonction constante et forment une partition de , revient à trouver un point satisfaisant les égalités pour et les inégalités pour .

Théorème des fonctions implicites

Un théorème des fonctions implicites peut être obtenu pour une inclusion fonctionnelle sous l'hypothèse de régularité suivante[1].

Solution fortement régulière On dit que est une solution fortement régulière de de module s'il existe des voisinages de dans et de 0 dans , tels que pour tout , l'inclusion fonctionnelle linéarisée perturbée

a une solution , unique dans , et si est -lipschitzienne sur .

Nécessairement . Par ailleurs, si , la régularité forte devient l'inversibilité de .

On se place dans le cadre suivant. Soient et deux espaces de dimension finie et un espace topologique. Pour un paramètre donné, on considère l'inclusion fonctionnelle perturbée

et est une multifonction.

Théorème des fonctions simplicites Soient et un voisinage de dans . Supposons que existe sur et que et soient continues en . Si est une solution de , qui est fortement régulière de module , alors pour tout , il existe un voisinage de et un voisinage de , ainsi qu'une fonction univoque telle que pour tout , est l'unique solution de . De plus, pour tout et ,

Dans le cas où est lipschitzienne, uniformément en , on a le corollaire plus explicite suivant.

Corollaire On suppose que les conditions du résultat précédent ont lieu, que est une partie d'un espace normé et qu'il existe une constante telle que pour tout et et tout , on a

Alors est lipschitzienne sur de module .

Semi-stabilité et hémi-stabilité

Le bon comportement local d'un algorithme de linéarisation requiert une hypothèse de différentiabilité de la fonction dont on cherche un zéro (ne fût-ce que parce que la fonction est linéarisée par l'algorithme) et une hypothèse d'inversibilité de la dérivée de cette fonction en ce zéro (pour que localement on puisse définir la direction de déplacement d'un itéré à l'autre). Pour l'inclusion fonctionnelle , l'hypothèse de différentiabilité est naturellement celle de lorsque l'algorithme considéré est celui de Josephy-Newton puisque seule est différentiée dans cet algorithme. L'hypothèse d'inversibilité est, quant à elle, plus difficile à définir : on l'exprime au moyen de deux concepts, la semi-stabilité et l'hémi-stabilité[2]. La semi-stabilité s'occupe de la vitesse de convergence de l'algorithme de Josephy-Newton et l'hémi-stabilité du caractère bien posé de celui-ci.

Semi-stabilité

Cette notion est motivée par le souhait d'avoir des itérés de l'algorithme de Josephy-Newton qui convergent localement rapidement vers une solution ayant cette propriété.

Pour introduire la notion de semi-stabilité, supposons dans un premier temps que , si bien que le problème consiste à résoudre par des itérations de Newton . On suppose que l'on est dans un voisinage d'un zéro de et que la suite générée par l'algorithme converge vers ce point. Supposons que soit continûment différentiable sur . Alors, en utilisant l'équation définissant l'itération et le développement de avec reste intégral, on obtient

La convergence superlinéaire de vers , c'est-à-dire , se déduit alors de l'inversibilité de . En effet, par la différentiabilité de en et la nullité de , il vient et donc

est une constante strictement positive (on peut prendre dans ). Puis l'estimation de ci-dessus conduit à et donc à qui exprime la convergence superlinéaire de la suite. C'est cette dernière conséquence de l'inversibilité de que l'on choisit de préserver dans la définition de la semi-stabilité ci-dessous : si et est proche de , alors .

Semi-stabilité On dit qu'une solution de est semi-stable s'il existe des constantes et telles que pour tout couple vérifiant

on a

Voici quelques observations sur cette définition.

  1. Cette propriété n'affirme rien sur l'existence d'une solution de pour les considérés.
  2. Cette propriété n'est contraignante que pour de petites perturbations puisque dès que , la condition est toujours vérifiée.
  3. Une solution semi-stable est nécessairement isolée puisque si est une autre solution, on a et donc ou encore . Il n'y a donc pas d'autre solution que dans la boule .
  4. La notion de semi-stabilité en se ramène à celle d'injectivité de en l'absence de (et donc de son inversibilité si ).
  5. On peut montrer qu'une solution fortement régulière est semi-stable[3].

Si une solution semi-stable de en est une solution isolée, c'est aussi une solution isolée de cette inclusion fonctionnelle linéarisée en . La réciproque est d'ailleurs vraie lorsque est l'application cône normal à un polyèdre convexe (voir ci-dessous).

Solution isolée de l'inclusion fonctionnelle linéarisée Soit une solution semi-stable de l'inclusion fonctionnelle , dans laquelle est différentiable en . Alors est une solution isolée de l'inclusion foncitonnelle linéarisée

Le résultat suivant donne diverses propriétés d'une solution d'un problème d'inclusion fonctionnelle qui deviennent équivalentes à la semi-stabilité lorsque la multifonction est le cône normal à un convexe polyédrique non vide , c'est-à-dire lorsque l'inclusion fonctionnelle est un problème d'inéquation variationnelle sur un polyèdre convexe non vide. La condition (2) peut être utilisée pour caractériser la semi-stabilité d'un point stationnaire d'un problème d'optimisation sous contraintes et la condition (3) pour caractériser la semi-stabilité d'un minimum local de ce même problème.

Caractérisations de la semi-stabilité pour une IV polyédrique On suppose que et que est une solution de l'inclusion fonctionnelle , dans laquelle est différentiable en et est l'application cône normal à un convexe fermé non vide de Alors les implications (1) (2) (3) (4) ont lieu pour les affirmations données ci-dessous :

  1. est semi-stable,
  2. est solution isolée de


  3. tout solution de


    est tel que ,
  4. le système en


    n'a pas d'autre solution que .

Si, de plus, est polyédrique, alors les quatre propriétés (1)-(4) sont équivalentes.

Hémi-stabilité

La semi-stabilité n'assure en rien l'existence d'une solution de l'équation linéarisée et donc d'un nouvel itéré de l'algorithme de Josephy-Newton, même si cet itéré est proche d'une solution. C'est la raison d'être de la propriété d'hémi-stabilité introduite dans cette section.

Hémi-stabilité On dit qu'une solution de est hémi-stable si pour tout , il existe tel que, pour tout , l'inclusion en suivante

a une solution dans .

On notera que l'hémitabilité ne dit rien sur l'unicité de la solution de l'inclusion linéarisée. Seule l'existence d'une solution de cette inclusion linéarisée, proche de la solution hémi-stable, est demandée.

Annexes

Notes

  1. Robinson (1980) introduit la notion de régularité forte dans le cadre d'un espace de Banach et pour la multifonction cône normal à un convexe fermé non vide. Izmailov et Solodov (2014) mentionnent le résultat en dimension finie et pour une multifonction quelconque.
  2. Les notions de semi-stabilité et dhémi-stabilité ont été introduites par Bonnans (1994).
  3. A.F. Izmailov, M.V. Solodov (2014), p. 22.

Articles connexes

Lien externe

Bibliographie

  • (en) J.F. Bonnans (1994). Local analysis of Newton-type methods for variational inequalities and nonlinear programming. Applied Mathematics and Optimization, 29, 161–186.
  • (en) A.L. Dontchev, R.T. Rockafellar (2009). Implicit Functions and Solution Mappings - A View from Variational Analysis. Springer Monographs in Mathematics. Springer.
  • (en) A.F. Izmailov, M.V. Solodov (2014). Newton-Type Methods for Optimization and Variational Problems, Springer Series in Operations Research and Financial Engineering, Springer.
  • (en) S.M. Robinson (1980). Strongly regular generalized equations. Mathematics of Operations Research, 5, 43–62.
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