Holomorphe d'un groupe

Si ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$ désigne le groupe des automorphismes de ${\displaystyle G}$, on pose

${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)=G\rtimes \mathrm {Aut} (G)}$

où le produit semi-direct (externe) correspond à l'opération naturelle de ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$ sur G. Donc ${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)}$ a pour ensemble sous-jacent le produit cartésien de G par ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$ et sa loi de groupe est définie par

${\displaystyle (g,\alpha )(h,\beta )=(g\alpha (h),\alpha \beta ).}$

Un groupe G opère naturellement (à gauche) sur lui-même, ou plus exactement sur son ensemble sous-jacent, par multiplication à gauche et par multiplication à droite. L'opération (à gauche) par multiplication à gauche correspond à l'homomorphisme

${\displaystyle \lambda :G\rightarrow S_{G}:g\mapsto \lambda _{g}:h\mapsto :gh}$

de ${\displaystyle \ G}$ dans ${\displaystyle \ S_{G}}$, ${\displaystyle \ S_{G}}$ étant muni de la loi de groupe ${\displaystyle (f,g)\mapsto f\circ g:x\mapsto f(g(x))}$. L'opération (à gauche) par multiplication à droite correspond à l'homomorphisme

${\displaystyle \rho :G\rightarrow S_{G}:g\mapsto \rho _{g}:h\mapsto :hg^{-1}.}$

(Dans cette seconde opération, il est nécessaire d'inverser g pour obtenir une opération à gauche, c'est-à-dire un homomorphisme de ${\displaystyle \ G}$ dans ${\displaystyle \ S_{G}}$ tel que nous l'avons défini.)

Ces deux homomorphismes sont injectifs et définissent donc des isomorphismes de G sur les sous-groupes ${\displaystyle \ \lambda (G)}$ et ${\displaystyle \rho (G)}$ (d'où le théorème de Cayley). Pour un élément g donné, la permutation ${\displaystyle \lambda _{g}:x\mapsto gx}$ de G est souvent appelée[1] la translation à gauche par g.

Définissons maintenant ${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)}$ comme le sous-groupe de ${\displaystyle \ S_{G}}$ engendré par ${\displaystyle \ \lambda (G)}$ et ${\displaystyle \ \mathrm {Aut} (G)}$. On vérifie facilement que si ${\displaystyle \sigma }$ est un élément de ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$, alors

${\displaystyle (1)\qquad \sigma \circ \lambda _{g}\circ \sigma ^{-1}=\lambda _{\sigma (g)}}$,

ce qui montre que ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$ normalise ${\displaystyle \ \lambda (G)}$. Donc, puisque ${\displaystyle \ \lambda (G)}$ et ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$ engendrent ${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)}$, ${\displaystyle \ \lambda (G)}$ est un sous-groupe normal de ${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)}$. (On peut même montrer que ${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)}$ est le normalisateur de ${\displaystyle \ \lambda (G)}$ dans ${\displaystyle \ S_{G}}$.)

On a de plus ${\displaystyle \ \lambda (G)\cap \ \mathrm {Aut} (G)=1}$ (car si une translation est un automorphisme, sa valeur en 1 doit être égale à 1). Ainsi, ${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)}$ est produit semi-direct (interne) de ${\displaystyle \ \lambda (G)}$ par ${\displaystyle \ \mathrm {Aut} (G)}$. Il résulte dès lors de la relation (1) que l'application ${\displaystyle (g,\sigma )\mapsto \lambda _{g}\circ \sigma }$ définit un isomorphisme du produit semi-direct externe ${\displaystyle \ G\rtimes \mathrm {Aut} (G)}$ (correspondant à l'opération naturelle de ${\displaystyle \ \mathrm {Aut} (G)}$ sur G) sur ${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)}$. Les deux versions de ${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)}$ que nous avons définies sont donc des groupes isomorphes.

On montre[2] facilement que ${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)}$ (défini comme groupe de permutations) est aussi le sous-groupe de ${\displaystyle \ S_{G}}$ engendré par ${\displaystyle \rho (G)}$ et ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$. (Noter que ${\displaystyle \ \rho _{g}=\lambda _{g^{-1}}\circ \gamma _{g}}$, où ${\displaystyle \gamma _{g}}$ désigne l'automorphisme intérieur ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$.)

Puisque ${\displaystyle g\mapsto \lambda _{g}}$ définit un isomorphisme de ${\displaystyle \ G}$ sur ${\displaystyle \ \lambda (G)}$, tout automorphisme de ${\displaystyle \lambda (G)}$ est de la forme ${\displaystyle \lambda _{g}\mapsto \lambda _{\sigma (g)}}$ pour un certain automorphisme ${\displaystyle \sigma }$ de G. La relation (1) montre donc que

• tout automorphisme de ${\displaystyle \lambda (G)}$ est la restriction d'un automorphisme intérieur de ${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)}$.

Puisque ${\displaystyle \ \lambda (G)}$ est isomorphe à G, il en résulte que

• tout groupe G peut être plongé dans un groupe H tel que tout automorphisme de G soit la restriction à G d'un automorphisme intérieur de H.

Il en résulte aussi[3] qu'

• un sous-groupe de ${\displaystyle \ \lambda (G)}$ est caractéristique dans ${\displaystyle \ \lambda (G)}$ si et seulement s'il est normal dans ${\displaystyle \ \mathrm {Hol} (G)}$.

(Rappel : un sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal d'un groupe H est normal dans H.)

• Rappelons qu'un groupe est dit complet si son centre est réduit à l'élément neutre et si tous ses automorphismes sont intérieurs. On démontre[4] que si un groupe complet G est sous-groupe normal d'un groupe H, alors G est facteur direct de H. On prouve[2] réciproquement que si un groupe G est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal, G est complet. Pour cela, on utilise le fait que, dans ces hypothèses, λ(G) est facteur direct de Hol(G).
• Rappelons qu'un groupe G est appelé[5] un groupe caractéristiquement simple si ses seuls sous-groupes caractéristiques sont 1 et G lui-même. On montre facilement[6] que tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est caractéristiquement simple. Prouvons que, réciproquement, tout groupe caractéristiquement simple G non réduit à l'élément neutre peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. Puisque λ(G) est isomorphe à G, il suffit de prouver que λ(G) est un sous-groupe normal minimal de Hol(G). Cela se tire facilement du fait, noté plus haut, qu'un sous-groupe de λ(G) est caractéristique dans λ(G) si et seulement s'il est normal dans Hol(G).

Le mot anglais « holomorph », pour désigner l'holomorphe d'un groupe, fut introduit en 1897 par William Burnside. La notion avait cependant déjà apparu antérieurement chez d'autres auteurs[7].