Sous-groupe normal minimal

• Tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal minimal.

En effet, soit G un groupe fini non réduit à l'élément neutre. Il existe au moins un sous-groupe normal de G qui n'est pas réduit à l'élément neutre, à savoir G lui-même. Parmi les sous-groupes normaux de G non réduits à l'élément neutre, considérons-en un, soit N, du plus petit ordre possible. Il est clair que N est un sous-groupe normal minimal de G.

• Un groupe infini n'admet pas forcément de sous-groupe normal minimal. Par exemple, le groupe additif Q des nombres rationnels n'en admet pas. En effet, puisque Q est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux, donc un sous-groupe normal minimal N de Q serait un groupe non réduit à l'élément neutre et n'ayant aucun autre sous-groupe que lui-même et son sous-groupe réduit à l'élément neutre. On montre facilement qu'un tel groupe est fini (d'ordre premier), or Q n'admet pas d'élément d'ordre fini autre que 0.
• Tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est un groupe caractéristiquement simple.

Cela se déduit facilement du fait que tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal d'un groupe G est sous-groupe normal de G.

(On peut prouver que, réciproquement, tout groupe caractéristiquement simple G non réduit à l'élément neutre peut être plongé dans un groupe H admettant G pour sous-groupe normal minimal, à savoir H = Hol(G).)

On sait que si un groupe caractéristiquement simple K admet un sous-groupe normal minimal H, alors H est simple et K est somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de sous-groupes simples tous isomorphes à H (et cette famille peut être choisie telle qu'elle comprenne H). Compte tenu de l'énoncé précédent, ceci nous donne :

• Si G est un groupe, N un sous-groupe normal minimal de G et H un sous-groupe normal minimal de N, alors H est simple et N est somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de sous-groupes simples tous isomorphes à H (et cette famille peut être choisie telle qu'elle comprenne H).

On peut en fait démontrer[2] cet énoncé un peu plus fort :

• Si G est un groupe, N un sous-groupe normal minimal de G et H un sous-groupe normal minimal de N, alors H est simple et N est somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de sous-groupes simples tous conjugués de H dans G (et cette famille peut être choisie telle qu'elle comprenne H).

De cet énoncé, ou du précédent, résulte celui-ci :

• Si G est un groupe fini résoluble, si N est un sous-groupe normal minimal de G, alors N est un groupe abélien élémentaire, c'est-à-dire le produit direct d'une famille (finie) de groupes tous isomorphes à un même groupe Z/pZ, pour un certain nombre premier p.

En effet, d'une part, un groupe fini non réduit à l'élément neutre admet toujours au moins un sous-groupe normal minimal et, d'autre part, un sous-groupe simple d'un groupe résoluble est à la fois simple et résoluble et est donc un groupe fini d'ordre premier.

L'énoncé ci-dessus est utilisé dans la démonstration du théorème de Philip Hall sur l'existence des sous-groupes de Hall dans les groupes résolubles finis[3].

Socle d'un groupe (en)