Hamiltonien de Heisenberg

Dans un cristal, la symétrie est réduite à un groupe d'espace. De ce fait, les interactions entre les spins ne possèdent pas forcément l'invariance par le groupe SU(2). Pour pouvoir décrire correctement les propriétés magnétiques, il devient nécessaire d'utiliser une généralisation du modèle de Heisenberg contenant des termes d'anisotropie.

Dans le cas où les spins ${\displaystyle S\geq 1}$, les termes ${\displaystyle (S_{n}^{z})^{2}}$ ne se réduisent pas à des constantes. Dans un cristal de symétrie suffisamment basse, il peut donc exister dans le hamiltonien magnétique des termes de la forme :

${\displaystyle \sum _{n,\alpha =x,y,z}D_{\alpha }(S_{n}^{\alpha })^{2},}$

où on peut supposer que ${\displaystyle \sum _{\alpha }D_{\alpha }=0}$, puisque ${\displaystyle {\vec {S}}^{2}=S(S+1)}$. Ces termes sont appelés "single-ion anisotropy". Si ${\displaystyle D_{\alpha }>0}$, ils tendent à empêcher l'aimantation de s'aligner sur la direction ${\displaystyle \alpha }$.

Il est également possible de rencontrer des interactions de la forme :

${\displaystyle \sum _{n,m,\alpha =x,y,z}J_{n-m}^{\alpha }S_{n}^{\alpha }S_{m}^{\alpha }}$

Dans le cas le plus général, ce modèle est appelé modèle XYZ. Dans le cas où ${\displaystyle J_{n}^{x}=J_{n}^{y}\forall n}$, et il existe au moins une valeur de n pour laquelle ${\displaystyle J_{n}^{x}\neq J_{n}^{z}}$, on parle de modèle XXZ (les directions X et Y étant équivalentes). Lorsque ${\displaystyle J_{n}^{z}=0,\forall n}$, on parle de modèle XY. Si de plus, ${\displaystyle J_{n}^{x}=J_{n}^{y}\forall n}$, on parle de modèle XX ou XX0. Dans le cas où l'interaction est limitée aux premiers voisins, si ${\displaystyle |J^{z}|>|J_{x}|,|J_{y}|}$, le système aura tendance à s'aimanter selon la direction z qui est appelée l'axe facile. Dans le cas XXZ, avec ${\displaystyle J_{x}>J_{z}}$, le système s'aimante plutôt dans le plan XY qui est appelé plan facile.

En 1956, Takeo Matsubara et Hirotsugu Matsuda[1] - [2] ont montré que dans le cas d'un spin 1/2, le modèle XXZ est équivalent à un modèle de bosons sur réseau avec répulsion de cœur dur et interaction à deux corps mesurée par ${\displaystyle J_{n}^{z}}$.

L'apparition d'une aimantation dans le plan dans le modèle XXZ équivaut à la condensation de Bose (ou superfluidité des bosons) tandis que l'apparition d'une aimantation alternée dans le modèle magnétique correspond à un ordre de charge des bosons.

Dans le cas du spin-1/2, le modèle XYZ est intégrable en une dimension[3] - [4]. Lorsque le modèle se réduit au modèle XXZ, l'état fondamental est un liquide de Luttinger, pour ${\displaystyle |J_{z}|<J_{x}}$ou en présence de champ magnétique. Pour ${\displaystyle J_{z}>J_{x}>0}$, et en l'absence de champ magnétique, un ordre antiferromagnétisme avec aimantation alternée selon l'axe z est obtenu. Pour ${\displaystyle J_{z}<-J_{x}<0}$, on trouve un ordre ferromagnétique.

Dans le cas général, avec ${\displaystyle J_{x}\neq J_{y}}$ dans l'état fondamental, les moments s'ordonnent selon l'axe ${\displaystyle \alpha }$ qui maximise ${\displaystyle |J_{\alpha }|}$.

Lorsqu'il existe une interaction spin-orbite, il est possible de trouver un hamiltonien magnétique contenant des termes de la forme :

${\displaystyle {\vec {D}}\cdot ({\vec {S}}_{n}\times {\vec {S}}_{m})}$, appelés termes de Dzyaloshinskii-Moriya[5] - [6].

La présence de ces termes tend à imposer un angle entre les moments magnétiques différent de zéro ou cent-quatre-vingt degrés. En particulier, elle donne lieu dans un milieu antiferromagnétique au ferromagnétisme faible.

Kaplan[7], Shekhtman, Entin-Wohlmann et Aharony[8] ont montré que si les interactions entre électrons possèdent la symétrie SU(2), cette symétrie étant préservée dans le hamiltonien magnétique, il existe aussi nécessairement un terme d'anisotropie supplémentaire dans le hamiltonien, de la forme ${\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta }D_{\alpha \beta }S_{n}^{\alpha }S_{m}^{\beta }}$, où ${\displaystyle D_{\alpha \beta }}$ est un tenseur de rang 2 symétrique.

Dans le cas de ³He solide, il est possible d'avoir des échanges à trois ou quatre particules. On doit alors généraliser l’hamiltonien de Heisenberg en ajoutant des termes d'échange cyclique faisant intervenir respectivement trois ou quatre spins.