Groupe métaplectique

Le groupe de Lie symplectique Sp_2n(ℝ), ayant ℤ pour groupe fondamental, admet un unique revêtement à deux feuillets connexe, noté Mp_2n(ℝ) et appelé groupe métaplectique.

Le groupe métaplectique Mp₂(ℝ) n'est pas un groupe de matrices : il n'admet aucune représentation fidèle de dimension finie. Par conséquent, le problème de sa réalisation explicite est non trivial. Il possède toutefois des représentations irréductibles fidèles de dimension infinie, telles que la représentation de Weil décrite ci-dessous.

On peut démontrer que pour tout corps local F différent de ℂ, le groupe symplectique Sp_2n(F) admet une extension centrale parfaite unique de noyau le groupe cyclique d'ordre 2 ℤ/2ℤ, appelé groupe métaplectique sur F. C'est l'équivalent algébrique de la notion topologique de revêtement à deux feuillets lorsque F = ℝ. L'approche par la notion d'extension centrale est utile même dans le cas du groupe métaplectique réel car elle permet de décrire l'action du groupe via un cocycle particulier.

Pour n = 1, le groupe symplectique coïncide avec le groupe spécial linéaire SL2(ℝ). Le groupe agit de façon biholomorphe par homographies sur le demi-plan de Poincaré :

${\displaystyle g\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}}$ où ${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

est une matrice 2x2 de déterminant 1 et z appartient au demi-plan de Poincaré. Cette action permet de construire explicitement le revêtement métaplectique de SL₂(ℝ).

Les éléments du groupe métaplectique Mp₂(ℝ) sont les couples (g, ε), où ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ et ε est une fonction holomorphe sur le demi-plan de Poincaré vérifiant ${\displaystyle \epsilon (z)^{2}=cz+d=j(g,z)}$. Le produit est défini par :

${\displaystyle (g_{1},\epsilon _{1})\cdot (g_{2},\epsilon _{2})=(g_{1}g_{2},\epsilon ),}$    où ${\displaystyle \epsilon (z)=\epsilon _{1}(g_{2}\cdot z)\epsilon _{2}(z).}$

Le fait que ce produit est bien défini résulte de l'identité cocyclique ${\displaystyle j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)}$. L'application

${\displaystyle (g,\epsilon )\mapsto g}$

est une surjection de Mp₂(R) sur SL₂(R) qui n'admet pas de section continue. On obtient par conséquent un revêtement à deux feuillets non trivial de ce dernier groupe.

Donnons tout d'abord une justification abstraite de l'existence de la représentation de Weil. Le groupe de Heisenberg possède une représentation unitaire irréductible sur un espace de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ :

${\displaystyle \rho$ :\mathbb {H} (V)\longrightarrow U({\mathcal {H}})}

où le centre agit comme une constante non nulle. D'après le théorème de Stone–von Neumann, cette représentation est essentiellement unique. En effet, si ${\displaystyle \rho '}$ est une autre représentation de ce type, il existe un automorphisme

${\displaystyle \psi \in U({\mathcal {H}})}$ tel que ${\displaystyle \rho '=\mathrm {Ad} _{\psi }(\rho )}$.

et l'automorphisme conjuguant les deux représentations est projectivement unique, c'est-à-dire unique à une constante multiplicative de module 1 près. Donc tout automorphisme du groupe de Heisenberg, induisant l'identité sur le centre, agit sur cette représentation ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Pour être précis, l'action n'est définie qu'à la multiplication par une constante non nulle près.

Les automorphismes du groupe de Heisenberg forment le groupe symplectique. Il semblerait donc, à première vue, que l'on ait une action du groupe symplectique sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Cependant, l'action n'est définie qu'à la multiplication par une constante non nulle près, en d'autres termes, on ne peut envoyer l'automorphisme du groupe que sur la classe ${\displaystyle [\psi ]\in PU({\mathcal {H}})}$. Nous n'obtenons donc qu'un homomorphisme du groupe symplectique sur le groupe unitaire projectif de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ou, en d'autres termes, une représentation projective. La théorie générale des représentations projectives s'applique alors, donnant une action de l'extension centrale du groupe symplectique sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. On vérifie par le calcul que cette extension centrale est un revêtement à deux feuillets du groupe symplectique qui est précisément le groupe métaplectique.

Donnons maintenant une construction plus concrète dans le cas le plus simple, celui de Mp₂(ℝ). Dans ce cas, l'espace de Hilbert H est l'espace L²(ℝ). Le groupe de Heisenberg est engendré par les translations et la multiplication par les fonctions e^ixy de x, pour y réel. L'action du groupe métaplectique sur H est alors engendrée par la transformation de Fourier et la multiplication par les fonctions e^ix2y.

André Weil a montré que l'on peut étendre la théorie exposée ci-dessus en remplaçant ℝ par un groupe localement compact arbitraire G isomorphe à son dual de Pontryagin (groupe des caractères). L'espace Hilbert H est alors L²(G). L'analogue du groupe de Heisenberg est le groupe engendré par les translations par les éléments de G, et par les éléments du groupe dual (considérés comme fonctions de G vers le cercle unité). Il existe alors un analogue du groupe symplectique qui agit sur le groupe de Heisenberg, et cette action se relève en une représentation projective sur H. L'extension centrale correspondante du groupe symplectique est appelée groupe métaplectique

Quelques exemples importants de cette construction :

• G un espace vectoriel réel de dimension n. le groupe métaplectique obtenu est un revêtement à deux feuillets du groupe symplectique Sp_2n(ℝ).
• G un espace vectoriel sur un corps local F de dimension n arbitraire. On obtient un groupe métaplectique qui est un revêtement à deux feuillets du groupe symplectique Sp_2n(F).
• G un module sur l'anneau des adèles d'un corps de nombres (ou d'un corps global quelconque). Utile pour l'approche des formes automorphes dans le cadre de la théorie des représentations.
• G est un groupe fini. Le groupe métaplectique correspondant est alors également fini et le revêtement au-dessus du centre est trivial. Ce cas apparaît dans la théorie des fonctions thêta des réseaux, où G est typiquement le groupe discriminant d'un réseau unimodulaire de type II.
• David Kazhdan a conjecturé l'existence de la représentation de Weil linéaire (et non projective) sur un corps fini, à savoir qu'il existe une réalisation canonique de l'espace de Hilbert. Cette réalisation a été construite par Gurevich-Hadani en utilisant la notion d'opérateurs d'entrelacement canoniques proposée par Joseph Bernstein[2].

• Groupe de Heisenberg
• Structure métaplectique
• Paire duale reductive
• Groupe des Spineurs
• Groupe symplectique
• Fonction thêta

• Roger Howe ; Eng-Chye Tan (1992), Nonabelian harmonic analysis. Applications of SL(2,R), Universitext, New York:, Springer-Verlag, (ISBN 0-387-97768-6)
• Gérard Lion ; Michèle Vergne (1980), The Weil representation, Maslov index and theta series, Progress in Mathematics, 6, Boston: Birkhäuser
• André Weil (1964), "Sur certains groupes d'opérateurs unitaires", Acta Math., Project Euclid[3]
• Shamgar Gurevich ; Ronny Hadani (2006), "The geometric Weil representation", Selecta Mathematica. New Series, arxiv.org [4]
• Shamgar Gurevich ; Ronny Hadani (2005), Canonical quantization of symplectic vector spaces over finite fields, arxiv.org[2],

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Metaplectic group » (voir la liste des auteurs).